Однородный шар диаметром 6 см имеет массу 54 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

Пусть (d_1) – диаметр первого шара, (m_1) – его масса, а (d_2) – диаметр второго шара, (m_2) – его масса. Дано: (d_1 = 6) см, (m_1 = 54) грамма, (d_2 = 2) см. Нужно найти (m_2). Поскольку шары изготовлены из одного и того же материала, их плотность одинакова. Плотность шара можно выразить как (\rho = \frac{m}{V}), где (m) – масса шара, а (V) – его объем. Объем шара вычисляется по формуле (V = \frac{4}{3} \pi r^3), где (r) – радиус шара. Так как диаметр (d = 2r), то (r = \frac{d}{2}), и формула объема шара может быть записана через диаметр: (V = \frac{4}{3} \pi (\frac{d}{2})^3 = \frac{\pi d^3}{6}). Таким образом, плотность шара равна (\rho = \frac{m}{\frac{\pi d^3}{6}} = \frac{6m}{\pi d^3}). Поскольку плотности шаров одинаковы, можно записать равенство: $$\frac{6m_1}{\pi d_1^3} = \frac{6m_2}{\pi d_2^3}$$ Сокращаем на (\frac{6}{\pi}): $$\frac{m_1}{d_1^3} = \frac{m_2}{d_2^3}$$ Выражаем (m_2): $$m_2 = m_1 \cdot \frac{d_2^3}{d_1^3} = m_1 \cdot (\frac{d_2}{d_1})^3$$ Подставляем известные значения: $$m_2 = 54 \cdot (\frac{2}{6})^3 = 54 \cdot (\frac{1}{3})^3 = 54 \cdot \frac{1}{27} = 2$$ Итак, масса шара с диаметром 2 см равна 2 грамма. Ответ: 2