Однородный шар диаметром 9 см имеет массу 27 граммов. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 6 см? Ответ дайте в граммах.

Пусть $$D_1$$ - диаметр первого шара, а $$m_1$$ - его масса. Пусть $$D_2$$ - диаметр второго шара, а $$m_2$$ - его масса. Дано: $$D_1 = 9$$ см, $$m_1 = 27$$ г, $$D_2 = 6$$ см. Нужно найти $$m_2$$. Так как шары сделаны из одного и того же материала, их плотность одинакова. Плотность шара вычисляется по формуле: $$\rho = \frac{m}{V}$$, где $$m$$ - масса шара, а $$V$$ - его объем. Объем шара вычисляется по формуле: $$V = \frac{4}{3} \pi R^3$$, где $$R$$ - радиус шара. Так как $$R = \frac{D}{2}$$, то $$V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{D^3}{8} = \frac{\pi D^3}{6}$$. Для первого шара: $$\rho = \frac{m_1}{V_1} = \frac{m_1}{\frac{\pi D_1^3}{6}} = \frac{6m_1}{\pi D_1^3}$$. Для второго шара: $$\rho = \frac{m_2}{V_2} = \frac{m_2}{\frac{\pi D_2^3}{6}} = \frac{6m_2}{\pi D_2^3}$$. Так как плотности одинаковы, то $$\frac{6m_1}{\pi D_1^3} = \frac{6m_2}{\pi D_2^3}$$. Сокращаем на $$\frac{6}{\pi}$$: $$\frac{m_1}{D_1^3} = \frac{m_2}{D_2^3}$$. Выражаем $$m_2$$: $$m_2 = m_1 \frac{D_2^3}{D_1^3} = m_1 (\frac{D_2}{D_1})^3$$. Подставляем известные значения: $$m_2 = 27 (\frac{6}{9})^3 = 27 (\frac{2}{3})^3 = 27 \frac{8}{27} = 8$$ граммов. Ответ: 8