Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $76\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Решение: 1. Поскольку центр сферы находится в центре основания конуса, высота конуса равна радиусу сферы, т.е. $H = R = 76\sqrt{2}$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания конуса $r$, высотой конуса $H$ и образующей конуса $l$. По теореме Пифагора: $l^2 = r^2 + H^2$ 3. Также, радиус сферы $R$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания конуса $r$ и половиной высоты конуса $H/2$, так как центр сферы находится в центре основания конуса. $R^2 = r^2 + (H/2)^2$ $r^2 = R^2 - (H/2)^2$ 4. Подставим значение $H = R = 76\sqrt{2}$: $r^2 = (76\sqrt{2})^2 - ((76\sqrt{2})/2)^2 = (76\sqrt{2})^2 - (38\sqrt{2})^2 = 2*76^2 - 2*38^2 = 2(76^2 - 38^2) = 2(76-38)(76+38) = 2*38*114 = 2*38*38*3 = 2*38^2 * 3$ $r = \sqrt{2*38^2 * 3} = 38\sqrt{6}$ 5. Теперь найдем образующую конуса $l$: $l^2 = r^2 + H^2 = (38\sqrt{6})^2 + (76\sqrt{2})^2 = 38^2 * 6 + 76^2 * 2 = 1444 * 6 + 5776 * 2 = 8664 + 11552 = 20216$ $l = \sqrt{20216} = \sqrt{4 * 5054} = 2\sqrt{5054} = \sqrt{16 * 1263.5}$ Проверим $20216= 76*76*2+38*38*6 = 11552+8664 = 20216$ $l = \sqrt{20216} = \sqrt{4*5054} = 2\sqrt{5054}$ Упрощаем: $20216 = 4*5054$. Факторизация числа 5054: $5054 = 2 * 2527$. $l = 2\sqrt{2*2527} = 2\sqrt{2} \sqrt{2527}$. 6. Другой способ: Т.к. H = R, то $R^2 = r^2 + (R/2)^2$. Отсюда, $r^2 = R^2 - R^2/4 = (3/4)R^2 = (3/4) * (76\sqrt{2})^2 = (3/4) * 76^2 * 2 = (3/2) * 76^2$ Тогда $l^2 = r^2 + H^2 = (3/2) * 76^2 + (76\sqrt{2})^2 = (3/2) * 76^2 + 2 * 76^2 = 76^2 * (3/2 + 2) = 76^2 * (7/2)$ $l = 76\sqrt{7/2} = 76 * (\sqrt{14}/2) = 38\sqrt{14}$ Следовательно, образующая конуса равна $38\sqrt{14}$. Разъяснение для школьника: Представь себе конус, внутри которого находится шар. Этот шар касается основания конуса и его вершины. Центр шара находится прямо в центре основания конуса. Нам дан радиус этого шара, и нам нужно найти длину образующей конуса (расстояние от вершины конуса до любой точки на окружности основания). Так как центр шара находится в центре основания, высота конуса равна радиусу шара. Далее, используя теорему Пифагора, мы можем найти радиус основания конуса, а затем и образующую конуса. Мы используем формулы, связывающие радиус шара, радиус основания конуса, высоту конуса и образующую конуса, чтобы решить задачу.