Около окружности описана равнобедренная трапеция, основания которой равны 2 и 8. Найдите радиус окружности r и площадь трапеции S.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Свойства описанной равнобедренной трапеции: Высота (h) трапеции равна диаметру вписанной окружности (2r). Сумма оснований равна сумме боковых сторон.
2. Находим высоту (h): В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из концов меньшего основания на большее, образуются прямоугольные треугольники. Основания равны 2 и 8. Тогда на большем основании (8) образуются отрезки: (8 - 2) / 2 = 3.
3. Находим боковую сторону (c): Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами: высота (h) и отрезок (3), и гипотенузой — боковой стороной (c). По свойству описанной трапеции, сумма боковых сторон равна сумме оснований: 2c = 2 + 8 = 10, следовательно, c = 5.
4. Вычисляем высоту (h): По теореме Пифагора: h² + 3² = 5². h² + 9 = 25. h² = 16. h = 4.
5. Находим радиус окружности (r): Так как высота трапеции равна диаметру окружности, h = 2r. Следовательно, 4 = 2r, и r = 2.
6. Вычисляем площадь трапеции (S): Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ((a + b) / 2) * h.
7. Подставляем значения: S = ((2 + 8) / 2) * 4 = (10 / 2) * 4 = 5 * 4 = 20.

Ответ: r = 2, S = 20