Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, описанная около окружности. Пусть AB = CD = 17 см, BK и CM - высоты трапеции, а окружность касается основания AD в точке M и основания BC в точке K.

1. Найдем сумму оснований трапеции.

По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны. Следовательно,

$$AB + CD = BC + AD$$ $$17 + 17 = BC + AD$$ $$BC + AD = 34$$

2. Найдем высоту трапеции.

Так как в трапецию вписана окружность, то высота трапеции равна диаметру окружности. Следовательно, высота трапеции равна 15 см.

$$BK = CM = 15$$

3. Найдем AK и MD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. По теореме Пифагора:

$$AK^2 + BK^2 = AB^2$$ $$AK^2 = AB^2 - BK^2$$ $$AK^2 = 17^2 - 15^2$$ $$AK^2 = 289 - 225$$ $$AK^2 = 64$$ $$AK = \sqrt{64} = 8$$

Так как трапеция равнобедренная, то AK = MD = 8 см.

4. Найдем основания трапеции.

Пусть BC = x, тогда AD = 34 - x.

Так как AD = AK + KM + MD, а KM = BC (поскольку BKMC - прямоугольник), то

$$34 - x = 8 + x + 8$$ $$34 - x = x + 16$$ $$2x = 34 - 16$$ $$2x = 18$$ $$x = 9$$

Следовательно, BC = 9 см, AD = 34 - 9 = 25 см.

Ответ: 9 см и 25 см.