3. Около правильного треугольника описана окружность, радиус которой равен 8 см. Найдите: а) длину окружности, б) периметр треугольника, в) площадь треугольника.

Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен 8 см.

а) Длина окружности вычисляется по формуле: $$C = 2 \pi R$$, где R - радиус окружности.

В данном случае, R = 8 см, следовательно, длина окружности равна: $$C = 2 \pi \cdot 8 = 16\pi \approx 50.27 \text{ см}$$.

б) Периметр правильного треугольника.

Связь между стороной правильного треугольника (a) и радиусом описанной окружности (R): $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$. Отсюда $$a = R\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$.

Периметр правильного треугольника: $$P = 3a = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \approx 41.57 \text{ см}$$.

в) Площадь треугольника.

Площадь правильного треугольника: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$.

Подставим значение стороны: $$S = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 16 \cdot 3 \sqrt{3} = 48\sqrt{3} \approx 83.14 \text{ см}^2$$.

Ответ: а) $$16\pi \approx 50.27 \text{ см}$$, б) $$24\sqrt{3} \approx 41.57 \text{ см}$$, в) $$48\sqrt{3} \approx 83.14 \text{ см}^2$$.