600 Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ∠B=30°.

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Радиус этой окружности равен половине гипотенузы:

$$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$$.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, AC = 18 см, ∠B = 30°. Тогда ∠A = 90° - 30° = 60°.

Используем определение синуса угла B:

$$\sin{B} = \frac{AC}{AB}$$, следовательно, $$AB = \frac{AC}{\sin{B}} = \frac{18}{\sin{30°}} = \frac{18}{0.5} = 36 \text{ см}$$.

Радиус окружности, описанной около этого треугольника:

$$R = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$$.

Ответ: а) 5 см; б) 18 см.