Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.

Пусть дана окружность с центром в точке O, касающаяся двух параллельных прямых a и b, и секущей c, пересекающей a и b в точках A и B соответственно. Пусть точки касания окружности с прямыми a и b будут точками K и L соответственно. 1. Соединим центр окружности O с точками касания K и L. Так как прямые a и b параллельны, то KL является диаметром окружности (отрезок, соединяющий точки касания параллельных прямых, перпендикулярен обеим прямым и проходит через центр окружности). Значит, точки K, O и L лежат на одной прямой. 2. Соединим центр окружности O с точками A и B. Нам нужно доказать, что угол AOB равен 90 градусам. 3. Рассмотрим углы при параллельных прямых a и b и секущей c. Углы KAO и LBO – внутренние односторонние углы при параллельных прямых a и b и секущей c. Следовательно, их сумма равна 180 градусам: $\angle KAO + \angle LBO = 180^{\circ}$. 4. OK и OL – радиусы, проведенные в точки касания, а значит, они перпендикулярны касательным a и b соответственно. Таким образом, углы OKA и OLB – прямые, то есть $\angle OKA = \angle OLB = 90^{\circ}$. 5. Рассмотрим четырехугольник AKOB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Следовательно, в четырехугольнике AKOB имеем: $\angle OKA + \angle KAO + \angle AOB + \angle OBL = 360^{\circ}$. 6. Выразим угол AOB через другие углы: $\angle AOB = 360^{\circ} - \angle OKA - \angle OBL - \angle KAO = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle KAO = 180^{\circ} - \angle KAO$. 7. Аналогично рассмотрим четырёхугольник OLBO: $\angle AOB = 360^{\circ} - \angle OLB - \angle OBL - \angle LBO = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LBO = 180^{\circ} - \angle LBO$. 8. Так как $\angle KAO + \angle LBO = 180^{\circ}$, то $\angle LBO = 180^{\circ} - \angle KAO$. Подставим это в выражение для $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle KAO) = \angle KAO$. 9. Но из четырёхугольника AKOB мы получили, что $\angle AOB = 180^{\circ} - \angle KAO$, a из четырёхугольника OLBO получили, что $\angle AOB = 180^{\circ} - \angle LBO$. Сложим эти два выражения: $2 \cdot \angle AOB = 360^{\circ} - (\angle KAO + \angle LBO) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$. 10. Разделим обе части на 2: $\angle AOB = 90^{\circ}$. Вывод: Отрезок секущей, заключенный между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.