Окружность касается стороны АВ треугольника АВС, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон АС и ВС за точки А и В соответственно. Докажите, что периметр треугольника АВС равен диаметру этой окружности.

Пусть $$O$$ - центр окружности, $$r$$ - ее радиус. Пусть $$P$$ - точка касания с $$AB$$, $$Q$$ - с $$AC$$, $$R$$ - с $$BC$$.
Так как окружность касается $$AC$$ за $$A$$, $$Q$$ лежит на продолжении $$AC$$. Так как окружность касается $$BC$$ за $$B$$, $$R$$ лежит на продолжении $$BC$$.
Четырехугольник $$CQOR$$ является квадратом, так как $$CQ=CR=r$$ и углы $$C, Q, R$$ прямые.
Пусть $$AQ = AP = x$$ и $$BR = BP = y$$.
Периметр треугольника $$ABC$$ равен $$AC + BC + AB = (CQ - AQ) + (CR - BR) + (AP + BP) = (r-x) + (r-y) + (x+y) = 2r$$.
Диаметр окружности равен $$2r$$. Следовательно, периметр треугольника $$ABC$$ равен диаметру окружности. Доказано.