23 Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС и точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 18, а сторона АС в 1,2 раза больше стороны ВС.

Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$. Значит, точки $$B$$, $$C$$, $$K$$, $$P$$ лежат на одной окружности. Тогда четырехугольник $$BKPC$$ - вписанный в окружность. Следовательно, $$\angle BKP = 180^{\circ} - \angle BCP$$ и $$\angle BCP = \angle BCA$$. Так как $$\angle AK P + \angle BKP = 180^{\circ}$$, то $$\angle AKP = \angle BCA$$. Аналогично, $$\angle AK P + \angle ABC = 180^{\circ}$$. Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle APK$$ по двум углам ($$\angle A$$ - общий, $$\angle AKP = \angle ACB$$). Из подобия треугольников следует, что $$\frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{KP}{BC}$$. Дано: $$AK = 18$$, $$AC = 1.2BC$$. Тогда $$\frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC}$$, отсюда $$KP = BC \cdot \frac{AK}{AC}$$. $$KP = BC \cdot \frac{18}{1.2BC} = \frac{18}{1.2} = \frac{180}{12} = \frac{60}{4} = 15$$. Ответ: 15