Окружность пересекает стороны ST и SL треугольника STL в точках X и Y соответственно и проходит через вершины T и L. Найдите длину отрезка XY, если SX = 9, а сторона SL в 1,8 раза больше стороны TL.

Давайте разберём эту задачу по геометрии. **1. Понимание условия задачи** У нас есть треугольник STL. Окружность проходит через точки T и L, а также пересекает стороны ST в точке X и SL в точке Y. Нам известно, что SX = 9 и что SL в 1.8 раза больше TL. Нужно найти длину отрезка XY. **2. Ключевое свойство** Здесь ключевым является свойство вписанного четырехугольника. Раз точки T, L, Y и X лежат на окружности, значит четырехугольник TLYX является вписанным. Вписанные четырехугольники обладают интересным свойством: сумма противоположных углов равна 180 градусам. Это означает, что \(\angle TLY + \angle TXY = 180^\circ\) и \(\angle LTX + \angle LYX = 180^\circ\). **3. Подобие треугольников** Теперь посмотрим на треугольники STL и SXY. У них есть общий угол \(\angle S\). Поскольку точки T, L, X и Y лежат на окружности, то угол \(\angle TLY\) равен углу \(\angle TXY\). Аналогично, угол \(\angle STL\) равен углу \(\angle SXY\). Следовательно, треугольники STL и SXY подобны по двум углам. **4. Отношение сторон** Так как треугольники подобны, то отношения соответствующих сторон равны. То есть: \[\frac{SX}{ST} = \frac{SY}{SL} = \frac{XY}{TL}\] Мы знаем, что \(SX = 9\) и что \(SL = 1.8 * TL\). Нам нужно найти \(XY\). Из подобия треугольников мы также получаем, что \[\frac{XY}{TL} = \frac{SX}{ST}\] Обратите внимание, что также: \[\frac{SY}{SL} = \frac{SX}{ST}\] Давайте выразим \(SY\) через \(SL\) и воспользуемся этим соотношением. Мы также знаем, что \( SL = 1.8 cdot TL\) (дано по условию). Учитывая подобие треугольников STL и SXY, можно записать \[\frac{SX}{ST} = \frac{SY}{SL} = \frac{XY}{TL}\] Так как нам нужно найти \(XY\), давайте посмотрим на пропорцию \(\frac{XY}{TL} = \frac{SX}{ST}\). И также мы имеем, что углы \(\angle S\) общие для треугольников STL и SXY, а также \(\angle SXY = \angle STL\) (как опирающиеся на одну и ту же дугу окружности). Значит, треугольники \(STL\) и \(SXY\) подобны. Тогда \[ \frac{SX}{ST} = \frac{SY}{SL} \] Из подобия \(\frac{XY}{TL} = \frac{SX}{ST} \). Но мы не знаем длину \(ST\) , зато знаем соотношение между \(SL\) и \(TL\). Рассмотрим подобие треугольников \(\triangle SXY \sim \triangle STL\), из этого следует \[\frac{SX}{SL} = \frac{SY}{ST} = \frac{XY}{TL}\] Откуда \[\frac{XY}{TL} = \frac{SX}{SL}\] Заменим \(SL = 1.8TL\) в последнем выражении \[ \frac{XY}{TL} = \frac{SX}{1.8TL}\] Тогда \[ XY = \frac{SX}{1.8} \] Подставив значение \(SX = 9\), получим \[ XY = \frac{9}{1.8} = 5 \] **5. Итог** Длина отрезка XY равна 5.