Окружность радиусом 12 вписана в угол 60° (рис. 4). Как вписать в этот же угол другую окружность с меньшим радиусом, чтобы она имела с данной лишь одну общую точку, и чему равен её радиус?

Давай решим эту задачу вместе. Нам дана окружность радиуса 12, вписанная в угол 60°. Нам нужно найти радиус другой окружности, которая также вписана в этот угол и касается первой окружности. 1. Визуализация задачи: Представь себе угол в 60°. Внутри него находится окружность радиуса 12. Нам нужно найти меньшую окружность, которая тоже находится внутри этого угла и касается большей окружности. 2. Ключевые идеи: * Обе окружности вписаны в один и тот же угол. Это значит, что их центры лежат на биссектрисе этого угла. Биссектриса делит угол пополам, то есть на два угла по 30°. * Окружности касаются друг друга, значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. 3. Введем обозначения: * Пусть (R) - радиус большей окружности (равен 12). * Пусть (r) - радиус меньшей окружности (который нам нужно найти). * Пусть (d) - расстояние от вершины угла до центра большей окружности. * Пусть (x) - расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности. 4. Выразим расстояния (d) и (x) через радиусы: В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом окружности, проведенным к точке касания, и отрезком от центра окружности до вершины угла, синус угла в 30° равен отношению противолежащего катета (радиуса) к гипотенузе (расстоянию от вершины угла до центра окружности). Таким образом: \[\sin(30^\circ) = \frac{R}{d} = \frac{1}{2}\] Отсюда: \[d = 2R = 2 \cdot 12 = 24\] Аналогично для меньшей окружности: \[\sin(30^\circ) = \frac{r}{x} = \frac{1}{2}\] Отсюда: \[x = 2r\] 5. Установим связь между (d), (x), (R) и (r): Так как окружности касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Значит: \[d - x = R + r\] 6. Подставим известные значения и выразим (r): \[24 - 2r = 12 + r\] \[3r = 12\] \[r = 4\] Ответ: Радиус меньшей окружности равен 4.