11. Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны АВ в точке Е. Найдите площадь трапеции, если известно, что ВЕ - 2, а ВС меньшее ос- нование трапеции.

Решение:

Пусть O - центр вписанной окружности, r - ее радиус (r = 3). Пусть трапеция ABCD равнобедренная, BC - меньшее основание, AB - боковая сторона, E - точка касания окружности и боковой стороны AB, BE = 2.

1. Найдем высоту трапеции, которая равна двум радиусам вписанной окружности: H = 2r = 2 * 3 = 6

2. Так как в равнобедренную трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон:

$$BC + AD = AB + CD = 2AB$$

3. Выразим боковую сторону AB через BE и AE. AE можно найти, заметив, что высота, опущенная из вершины B на основание AD, разбивает AD на два отрезка, один из которых равен (AD-BC)/2. И так как трапеция равнобедренная, то $$\triangle$$ABE - прямоугольный. Тогда:

$$AB = BE + AE$$

Для нахождения AE рассмотрим прямоугольный $$\triangle$$ ABE. Пусть высота трапеции будет BH. Тогда AH = (AD - BC) / 2.

По теореме Пифагора для $$\triangle$$ ABE:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

4. Так как окружность вписана, то BE = x. AE = y. Тогда:

$$AE = \sqrt{AB^2 - BH^2}$$.

Так как сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равна, то:

$$BE + AD = AE + CD$$ $$AB=BE+AE = 2+AE$$ $$BC+AD = AB+CD = 2*AB$$

Т.к. высота трапеции равна 2r, где r - радиус, то H=2*3=6.

5. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot H$$

6. Высота BH равна 6. Так как в трапецию вписана окружность, то AB+CD=BC+AD. Трапеция равнобедренная, следовательно AB=CD. Тогда BC+AD = 2AB.

7. Найдем AB. AB = BE + EA

Тогда EA = AB - BE = AB-2

8. Опустим высоту из вершины B на основание AD. Обозначим ее H. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. AH = (AD-BC)/2.

По теореме Пифагора, AH^2 + BH^2 = AB^2

AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{AB^2 - 36}

Так как AH = AE, то: AE = \sqrt{AB^2 - 36}. А еще AE = AB - 2

Тогда получается:

$$AB - 2 = \sqrt{AB^2 - 36}$$

Возведем в квадрат:

$$(AB - 2)^2 = AB^2 - 36$$ $$AB^2 - 4AB + 4 = AB^2 - 36$$ $$-4AB = -40$$ $$AB=10$$

Тогда 2AB=20. А это сумма оснований. H=6.

Подставим все в формулу площади:

$$S=\frac{AD+BC}{2}*H = \frac{20}{2}*6=60$$

Ответ: 60