Окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Решение:

Пусть большая окружность имеет центр \( O \) и радиус \( R = 10 \) см. Диаметр этой окружности равен \( 2R = 20 \) см.

Точка \( A \) находится на диаметре на расстоянии \( OA = 5 \) см от центра \( O \).

Пусть вторая окружность имеет центр \( O' \) и радиус \( r \).

Эта окружность касается диаметра в точке \( A \). Это означает, что центр \( O' \) лежит на перпендикуляре к диаметру в точке \( A \).

Так как окружность касается диаметра в точке \( A \), то расстояние от \( O' \) до \( A \) равно радиусу \( r \). То есть \( O'A = r \). Диаметр, на котором находится точка \( A \), является касательной для второй окружности в точке \( A \). Это значит, что радиус \( O'A \) перпендикулярен этому диаметру.

Обозначим центр большой окружности как \( O \) и радиус \( R = 10 \) см. Диаметр лежит на прямой. Пусть \( O \) - начало координат (0,0). Диаметр по оси x. Точка \( A \) находится на расстоянии 5 см от центра. Возможны два случая: \( A = (5, 0) \) или \( A = (-5, 0) \). Возьмем \( A = (5, 0) \).

Вторая окружность касается диаметра в точке \( A \). Это значит, что центр \( O' \) находится на перпендикуляре к диаметру в точке \( A \). То есть, \( O' \) имеет координату \( x = 5 \).

Радиус второй окружности равен \( r \). Значит, \( O' = (5, r) \) или \( O' = (5, -r) \).

Вторая окружность касается большой окружности изнутри. Расстояние между центрами \( O \) и \( O' \) равно разности их радиусов: \( OO' = R - r \).

\( O = (0, 0) \), \( R = 10 \). \( A = (5, 0) \).

Пусть \( O' = (5, r) \).

\( OO' = \sqrt{(5-0)^2 + (r-0)^2} = \sqrt{5^2 + r^2} = \sqrt{25 + r^2} \).

\( OO' = R - r = 10 - r \).

\( \sqrt{25 + r^2} = 10 - r \).

Возведем обе стороны в квадрат:

\( 25 + r^2 = (10 - r)^2 \)

\( 25 + r^2 = 100 - 20r + r^2 \)

\( 25 = 100 - 20r \)

\( 20r = 100 - 25 \)

\( 20r = 75 \)

\( r = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} = 3.75 \) см.

Проверим случай, когда \( O' = (5, -r) \).

\( OO' = \sqrt{(5-0)^2 + (-r-0)^2} = \sqrt{25 + r^2} \).

\( OO' = R - r = 10 - r \).

Это тот же случай. \( r = 3.75 \) см.

Ответ: Радиус второй окружности равен \( 3.75 \) см.