Окружности с центрами в точках R и S не имеют общих точек, ни одна из них не лежит внутри другой, а их радиусы относятся как с: д. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении с: д.

Пусть окружности с центрами в точках R и S имеют радиусы r и R соответственно, такие что r/R = c/d. Пусть A и B - точки касания общей внутренней касательной с окружностями с центрами R и S соответственно. Пусть O - точка пересечения общей внутренней касательной и отрезка RS.

Треугольники ARO и BSO подобны, так как углы RAO и SBO прямые (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания), и углы AOR и BOS равны как вертикальные.

Из подобия треугольников следует:

$$\frac{RO}{SO} = \frac{AR}{BS} = \frac{r}{R} = \frac{c}{d}$$

Таким образом, точка O делит отрезок RS в отношении c:d.

Ответ: Доказано, что внутренняя общая касательная делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении c:d.