40. Окружности $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 36$$ и $$(x-7)^2 + (y+7)^2 = 64$$ пересекаются в точках A и B. Найти длину хорды AB.

Первая окружность: центр $$O_1(1, 1)$$, радиус $$R_1 = 6$$. Вторая окружность: центр $$O_2(7, -7)$$, радиус $$R_2 = 8$$. Расстояние между центрами: $$O_1O_2 = \sqrt{(7-1)^2 + (-7-1)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$. Пусть A и B - точки пересечения окружностей. Тогда $$O_1A = O_1B = 6$$ и $$O_2A = O_2B = 8$$. Пусть M - середина AB. Тогда $$O_1M \perp AB$$ и $$O_2M \perp AB$$, следовательно, точки $$O_1$$, M и $$O_2$$ лежат на одной прямой. Также, $$AB = 2AM$$. Обозначим $$O_1M = x$$, тогда $$O_2M = 10 - x$$. В треугольнике $$O_1AM$$: $$AM^2 = O_1A^2 - O_1M^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$$ В треугольнике $$O_2AM$$: $$AM^2 = O_2A^2 - O_2M^2 = 8^2 - (10-x)^2 = 64 - (100 - 20x + x^2) = -36 + 20x - x^2$$ Приравниваем выражения для $$AM^2$$: $$36 - x^2 = -36 + 20x - x^2$$ $$72 = 20x$$ $$x = \frac{72}{20} = \frac{18}{5} = 3.6$$ Теперь найдем $$AM$$: $$AM^2 = 36 - (3.6)^2 = 36 - 12.96 = 23.04$$ $$AM = \sqrt{23.04} = 4.8$$ Тогда $$AB = 2AM = 2(4.8) = 9.6$$ **Ответ: 9.6**