11) Опираясь на теорию графов, решите задачу. Из стальной проволоки нужно изготовить модель шестиугольной призмы заданного размера с построенным сечением (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и сваривать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки потребуется?

Для решения этой задачи, опираясь на теорию графов, нужно минимизировать количество разрезов (кусков) проволоки, необходимых для создания модели шестиугольной призмы с заданным сечением. Шестиугольная призма имеет 12 вершин и 18 ребер. Если бы мы не могли сваривать проволоку, нам бы потребовалось 18 кусков проволоки. Однако, поскольку проволоку можно сваривать, нужно минимизировать количество отдельных кусков. Представим, что мы делаем один непрерывный контур, проходящий по всем ребрам. В идеале, если бы граф был эйлеровым (то есть, существовал бы путь, проходящий по каждому ребру ровно один раз и возвращающийся в исходную вершину), нам бы хватило одного куска проволоки. Однако, чтобы граф был эйлеровым, все его вершины должны иметь четную степень (количество ребер, сходящихся в вершине). В шестиугольной призме у нас есть вершины степени 3 (три ребра сходятся в каждой вершине). Следовательно, граф не является эйлеровым. Чтобы сделать граф эйлеровым, нужно добавить ребра, чтобы все вершины стали четными. Минимальное число дополнительных ребер будет соответствовать минимальному числу кусков проволоки. В каждой из 12 вершин степень равна 3, то есть нечетная. Чтобы сделать её четной, нужно добавить хотя бы одно ребро в каждую вершину. Однако, добавление ребра связывает две вершины, поэтому каждое добавленное ребро увеличивает степень сразу двух вершин. Минимальное число кусков проволоки будет равно количеству вершин с нечетной степенью, деленному на 2. В нашем случае 12 / 2 = 6. Таким образом, необходимо добавить 6 дополнительных ребер (фактически, разрезов проволоки). Следовательно, потребуется минимум 6 кусков проволоки.