1. Определение параллелограмма. Доказательство свойств его углов и диагоналей. 2. Взаимное расположение прямой и окружности. 3. Найдите высоты треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см.

1. Определение параллелограмма. Доказательство свойств его углов и диагоналей.

Определение: Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство свойств:

Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB || CD и BC || AD.

1. Доказательство равенства противоположных сторон и углов: Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них сторона AC - общая, углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, и углы BCA и DAC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует, что AB = CD, BC = AD и углы B и D равны. Аналогично, проведя диагональ BD, можно доказать, что углы A и C равны.
2. Доказательство свойства диагоналей: Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма), углы OAB и OCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, и углы OBA и ODC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по второму признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что AO = OC и BO = OD, то есть точка O делит каждую диагональ пополам.

2. Взаимное расположение прямой и окружности.

Прямая и окружность могут располагаться тремя способами:

• Прямая не пересекает окружность: расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности.
• Прямая касается окружности: расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. В этом случае прямая называется касательной к окружности, и она имеет с окружностью одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• Прямая пересекает окружность: расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. В этом случае прямая имеет с окружностью две общие точки и называется секущей.

3. Найдите высоты треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см.

Пусть дан треугольник ABC, где AB = BC = 5 см, AC = 6 см. Треугольник равнобедренный. Проведем высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой.

Тогда AH = HC = AC / 2 = 6 / 2 = 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$BH^2 = AB^2 - AH^2$$

$$BH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$

$$BH = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$$

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$$

Проведем высоту AK к стороне BC. Тогда площадь треугольника можно выразить как:

$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK$$

$$12 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AK$$

$$AK = \frac{2 \cdot 12}{5} = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ см}$$

Итак, высоты треугольника равны 4 см и 4.8 см.

Ответ: Высоты треугольника равны 4 см, 4.8 см и 4.8 см.