Смежные и вертикальные углы

Смежные углы

Определение: Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Свойство: Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Допустим, у нас есть два смежных угла: ∠AOB и ∠BOC, где OB - общая сторона, а OA и OC - продолжения друг друга. Тогда:

$$∠AOB + ∠BOC = 180°$$

Пример: Если ∠AOB = 60°, то ∠BOC = 180° - 60° = 120°.

Вертикальные углы

Определение: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство: Вертикальные углы равны.

Пусть у нас есть две пересекающиеся прямые, образующие углы ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4. Тогда ∠1 и ∠3 - вертикальные углы, а также ∠2 и ∠4 - вертикальные углы. И:

$$∠1 = ∠3$$ $$∠2 = ∠4$$

Пример: Если ∠1 = 45°, то ∠3 = 45°. Если ∠2 = 135°, то ∠4 = 135°.

Примеры решения задач

Задача 1: Один из смежных углов равен 30°. Найдите второй угол.

Решение:

Пусть ∠A = 30°. Поскольку сумма смежных углов равна 180°, то второй угол ∠B можно найти так:

$$∠B = 180° - ∠A = 180° - 30° = 150°$$

Ответ: Второй угол равен 150°.

Задача 2: Два вертикальных угла заданы выражениями: ∠A = 2x + 10 и ∠B = 3x - 20. Найдите x и величину этих углов.

Решение:

Поскольку вертикальные углы равны, то:

$$2x + 10 = 3x - 20$$

Решим уравнение:

$$3x - 2x = 10 + 20$$ $$x = 30$$

Теперь найдем величину углов:

$$∠A = 2 * 30 + 10 = 60 + 10 = 70°$$ $$∠B = 3 * 30 - 20 = 90 - 20 = 70°$$

Ответ: x = 30, ∠A = 70°, ∠B = 70°.