Определенный интеграл $$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$$ равен ...

Для вычисления определенного интеграла $$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$$, сначала найдем неопределенный интеграл $$\int \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$$.

Сделаем замену $$u = x+1$$, тогда $$du = dx$$. Интеграл примет вид:

$$\int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int u^{-\frac{1}{2}} du$$

Теперь применим правило интегрирования степенной функции:

$$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$

В нашем случае $$n = -\frac{1}{2}$$, поэтому:

$$\int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{u} + C$$

Вернемся к исходной переменной $$x$$, подставив $$u = x+1$$:

$$\int \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = 2\sqrt{x+1} + C$$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя найденную первообразную:

$$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = \left[2\sqrt{x+1}\right]_0^2 = 2\sqrt{2+1} - 2\sqrt{0+1} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{3} - 2$$

Таким образом, определенный интеграл равен $$2\sqrt{3} - 2$$.

Ответ: $$2\sqrt{3} - 2$$