Определи катеты, площадь и радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника, если известны гипотенуза c = 4 и острый угол α = 30°.

Давайте решим эту задачу по геометрии. Нам нужно найти катеты, площадь и радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и один из острых углов. **1. Нахождение катетов:** * **Катет, противолежащий углу 30° (a):** Мы знаем, что синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Формула: \( \sin(α) = \frac{a}{c} \) Подставим значения: \( \sin(30°) = \frac{a}{4} \) Так как \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \), получаем: \( \frac{1}{2} = \frac{a}{4} \) Решаем относительно *a*: \( a = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) * **Катет, прилежащий углу 30° (b):** Мы знаем, что косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Формула: \( \cos(α) = \frac{b}{c} \) Подставим значения: \( \cos(30°) = \frac{b}{4} \) Так как \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{4} \) Решаем относительно *b*: \( b = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) **2. Нахождение площади треугольника:** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Формула: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \) Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \) **3. Нахождение радиуса описанной окружности:** Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Формула: \( R = \frac{c}{2} \) Подставляем значение: \( R = \frac{4}{2} = 2 \) **Ответы:** * Катеты: 2 и \( 2\sqrt{3} \) * Площадь: \( 2\sqrt{3} \) * Радиус описанной окружности: 2 **Развернутый ответ:** Мы нашли катеты прямоугольного треугольника, используя синус и косинус угла 30 градусов. Один катет (противолежащий) оказался равен 2, а второй (прилежащий) - \( 2\sqrt{3} \). Затем мы вычислили площадь треугольника, умножив катеты и поделив на 2, и получили \( 2\sqrt{3} \). Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть 2. Все расчеты проводились с применением тригонометрических функций и свойств прямоугольного треугольника.