Определи корни уравнения: $$(4^x - 17 \cdot 2^x + 16) \cdot \sqrt{x-3} = 0$$ (В ответе напиши корни в порядке возрастания.)

Разберем данное уравнение. Оно состоит из двух множителей: $$(4^x - 17 \cdot 2^x + 16)$$ и $$\sqrt{x-3}$$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и при этом имеет смысл.

1. Рассмотрим первый множитель:

$$4^x - 17 \cdot 2^x + 16 = 0$$

Заметим, что $$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$. Сделаем замену переменной: $$y = 2^x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - 17y + 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225$$

Корни:

$$y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ $$y_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Вернемся к замене переменной:

$$2^x = 16 \Rightarrow 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4$$ $$2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0$$

2. Рассмотрим второй множитель:

$$\sqrt{x-3} = 0$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

3. Проверка найденных корней:

Необходимо проверить, чтобы подкоренное выражение $$\sqrt{x-3}$$ было определено, то есть $$x-3 \ge 0$$, или $$x \ge 3$$.

• x = 4: $$4 \ge 3$$ - подходит.
• x = 0: $$0 \ge 3$$ - не подходит.
• x = 3: $$3 \ge 3$$ - подходит.

Таким образом, корнями уравнения являются x = 3 и x = 4.

Запишем корни в порядке возрастания:

Ответ: 3; 4