Определи косинус \(\angle T\) треугольника \(ATC\), если даны координаты вершин треугольника: \(A(-1; 2; 0)\); \(T(3; 2; 0)\); \(C(2; 0; -2)\).

Для решения этой задачи нам нужно найти косинус угла T треугольника ATC, зная координаты вершин A, T и C. Мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами. Сначала найдем векторы \(\vec{TA}\) и \(\vec{TC}\). Вектор \(\vec{TA} = A - T = (-1 - 3, 2 - 2, 0 - 0) = (-4, 0, 0)\) Вектор \(\vec{TC} = C - T = (2 - 3, 0 - 2, -2 - 0) = (-1, -2, -2)\) Теперь найдем косинус угла между этими векторами по формуле: \[\cos(\angle T) = \frac{\vec{TA} \cdot \vec{TC}}{|\vec{TA}| \cdot |\vec{TC}|}\] Найдем скалярное произведение \(\vec{TA} \cdot \vec{TC}\): \[\vec{TA} \cdot \vec{TC} = (-4) \cdot (-1) + 0 \cdot (-2) + 0 \cdot (-2) = 4 + 0 + 0 = 4\] Найдем модули векторов \(\vec{TA}\) и \(\vec{TC}\): \[|\vec{TA}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4\] \[|\vec{TC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\] Подставим значения в формулу для косинуса угла: \[\cos(\angle T) = \frac{4}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] Таким образом, \(\cos(\angle T) = \frac{1}{3}\). Ответ: \(\cos(\angle T) = \frac{1}{3}\)