Определи линейную скорость планетного спутника, двигающегося по низкой круговой орбите вблизи её поверхности, учитывая массу планеты – 102 * 10^24 кг и время одного его оборота – 2,56 ч. (Ответ округли до десятых.)

Для решения задачи нам потребуется формула для скорости спутника на низкой круговой орбите:

$$ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} $$

Где:

• (v) - скорость спутника
• (G) - гравитационная постоянная ((6.674 × 10^{-11} м^3 кг^{-1} с^{-2}))
• (M) - масса планеты
• (R) - радиус орбиты (в данном случае, примерно равен радиусу планеты, так как орбита низкая)

Так как точный радиус планеты не дан, но спутник вращается вблизи поверхности, будем считать, что для оценки скорости можно воспользоваться соотношением периода и радиуса орбиты. В первом приближении можно пренебречь высотой орбиты над поверхностью планеты.

Период обращения (T) связан со скоростью (v) и радиусом орбиты (R) следующим образом:

$$ T = \frac{2\pi R}{v} $$

Выразим отсюда скорость (v):

$$ v = \frac{2\pi R}{T} $$

Теперь приравняем оба выражения для скорости:

$$ \sqrt{\frac{GM}{R}} = \frac{2\pi R}{T} $$

Возведем обе части в квадрат:

$$ \frac{GM}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2} $$

Выразим (R):

$$ R^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2} $$ $$ R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} $$

Подставим известные значения:

• (G = 6.674 \times 10^{-11} м^3 кг^{-1} с^{-2})
• (M = 102 \times 10^{24} кг = 1.02 \times 10^{26} кг)
• (T = 2.56 ч = 2.56 \times 3600 с = 9216 с)

Вычислим (R):

$$ R = \sqrt[3]{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 1.02 \times 10^{26} \times (9216)^2}{4\pi^2}} $$ $$ R = \sqrt[3]{\frac{6.674 \times 1.02 \times 9216^2 \times 10^{15}}{4\pi^2}} $$ $$ R = \sqrt[3]{\frac{5.94 \times 10^{-10} \times 1.02 \times 8.5 \times 10^{7} \times 10^{26}}{39.47}} $$ $$ R = \sqrt[3]{\frac{5.70 \times 10^{22}}{39.47}} \approx \sqrt[3]{1.44 \times 10^{21}} \approx 1.13 \times 10^7 м $$

Теперь найдем скорость:

$$ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 1.02 \times 10^{26}}{1.13 \times 10^7}} $$ $$ v = \sqrt{\frac{6.807 \times 10^{15}}{1.13 \times 10^7}} = \sqrt{6.024 \times 10^8} \approx 24544 м/с = 24.5 км/с $$

Округлим до десятых: 24.5 км/с

Ответ: 24.5