Определите, какие из утверждений о прямоугольнике являются верными, а какие ложными. Обоснуйте свой ответ. 60. В любой прямоугольник можно вписать окружность. 61. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника. 62. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. 63. Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник. 64. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 65. Любой прямоугольник можно вписать в окружность. 66. Все углы прямоугольника равны. 67. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 68. Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон. 69. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Разберем каждое утверждение о прямоугольнике:

1. 60. В любой прямоугольник можно вписать окружность.

   Неверно. Вписать окружность можно только в такой прямоугольник, у которого стороны равны, то есть в квадрат. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Для прямоугольника это означает, что 2a = 2b, где a и b - длины сторон, следовательно a = b, т.е. это квадрат.

2. 61. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

   Неверно. Диагонали прямоугольника делят его на четыре равновеликих (равных по площади) треугольника, но эти треугольники будут равны только в том случае, если прямоугольник является квадратом.

3. 62. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

   Верно. Это свойство прямоугольника (и параллелограмма): диагонали в точке пересечения делятся пополам.

4. 63. Если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник.

   Верно. Это один из признаков прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

5. 64. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

   Верно. Такой прямоугольник существует, и это квадрат. Квадрат является частным случаем прямоугольника, у которого диагонали перпендикулярны.

6. 65. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

   Верно. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность, причем центр этой окружности будет в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

7. 66. Все углы прямоугольника равны.

   Верно. По определению, прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.

8. 67. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

   Неверно. Диагонали перпендикулярны только у квадрата, который является частным случаем прямоугольника.

9. 68. Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

   Неверно. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон (длины и ширины).

10. 69. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

    Верно. Если обозначить длины смежных сторон как a и b, то площадь прямоугольника S = a * b.