Определите максимальное значение потенциальной энергии пружины, если смещение груза изменяется с течением времени по закону $$x(t) = A \cos(wt + \frac{\pi}{4})$$, где $$A = 10 \text{ см}$$, циклическая частота $$w = 8,0 \text{ c}^{-1}$$ и масса груза $$m = 1 \text{ кг}$$.

Для решения задачи необходимо найти максимальную потенциальную энергию пружины, зная закон изменения смещения груза со временем.

1. Запишем известные величины в системе СИ:

• Масса груза: $$m = 1 \text{ кг}$$
• Амплитуда колебаний: $$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$
• Циклическая частота: $$w = 8.0 \text{ c}^{-1}$$

2. Определим жесткость пружины $$k$$.

Зная циклическую частоту, можно найти жесткость пружины, используя формулу:

$$w = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Отсюда:

$$k = m \cdot w^2$$

Подставим значения:

$$k = 1 \text{ кг} \cdot (8.0 \text{ c}^{-1})^2 = 64 \text{ Н/м}$$

3. Найдем максимальную потенциальную энергию пружины.

Максимальная потенциальная энергия пружины достигается при максимальном отклонении груза от положения равновесия, то есть при смещении, равном амплитуде колебаний $$A$$. Формула для потенциальной энергии пружины:

$$E_\text{п} = \frac{1}{2} k x^2$$

Максимальная потенциальная энергия:

$$E_\text{п max} = \frac{1}{2} k A^2$$

Подставим значения:

$$E_\text{п max} = \frac{1}{2} \cdot 64 \text{ Н/м} \cdot (0.1 \text{ м})^2 = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 0.01 \text{ Дж} = 0.32 \text{ Дж}$$

Ответ: Максимальная потенциальная энергия пружины составляет $$0.32 \text{ Дж}$$.