Определите массу золота в сплаве золота и серебра массой 400 г, если плотность сплава 14000 кг/м³, плотность золота 19300 кг/м³, плотность серебра 10500 кг/м³, а объем сплава равен сумме объемов его составных частей.

Для решения этой задачи, давайте обозначим массу золота как ( m_{Au} ) (в килограммах), а массу серебра как ( m_{Ag} ) (в килограммах). Мы знаем, что общая масса сплава составляет 400 г, что равно 0.4 кг. Таким образом: \[ m_{Au} + m_{Ag} = 0.4 \] Также мы знаем плотности золота (( \rho_{Au} = 19300 \) кг/м³) и серебра (( \rho_{Ag} = 10500 \) кг/м³), а также плотность сплава (( \rho_{сплава} = 14000 \) кг/м³). Объем сплава равен сумме объемов золота и серебра, то есть: \[ V_{сплава} = V_{Au} + V_{Ag} \] Объем можно выразить через массу и плотность: ( V = \frac{m}{\rho} ). Таким образом, наше уравнение для объемов выглядит так: \[ \frac{0.4}{\rho_{сплава}} = \frac{m_{Au}}{\rho_{Au}} + \frac{m_{Ag}}{\rho_{Ag}} \] Подставим известные значения плотностей: \[ \frac{0.4}{14000} = \frac{m_{Au}}{19300} + \frac{m_{Ag}}{10500} \] Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. \[ m_{Au} + m_{Ag} = 0.4 \] 2. \[ \frac{0.4}{14000} = \frac{m_{Au}}{19300} + \frac{m_{Ag}}{10500} \] Выразим ( m_{Ag} ) из первого уравнения: \[ m_{Ag} = 0.4 - m_{Au} \] И подставим это во второе уравнение: \[ \frac{0.4}{14000} = \frac{m_{Au}}{19300} + \frac{0.4 - m_{Au}}{10500} \] Теперь решим это уравнение относительно ( m_{Au} ): \[ \frac{0.4}{14000} = \frac{m_{Au}}{19300} + \frac{0.4}{10500} - \frac{m_{Au}}{10500} \] Умножим обе части уравнения на ( 19300 \cdot 10500 \cdot 14000 ) чтобы избавиться от знаменателей: \[ 0.4 \cdot 19300 \cdot 10500 = m_{Au} \cdot 10500 \cdot 14000 + 0.4 \cdot 19300 \cdot 14000 - m_{Au} \cdot 19300 \cdot 14000 \] Раскроем скобки и сгруппируем члены с ( m_{Au} ): \[ 0.4 \cdot 19300 \cdot 10500 - 0.4 \cdot 19300 \cdot 14000 = m_{Au} (10500 \cdot 14000 - 19300 \cdot 14000) \] \[ 0.4 \cdot 19300 \cdot (10500 - 14000) = m_{Au} \cdot 14000 \cdot (10500 - 19300) \] \[ 0.4 \cdot 19300 \cdot (-3500) = m_{Au} \cdot 14000 \cdot (-8800) \] \[ m_{Au} = \frac{0.4 \cdot 19300 \cdot 3500}{14000 \cdot 8800} \] \[ m_{Au} = \frac{0.4 \cdot 193 \cdot 35}{14 \cdot 88} \] \[ m_{Au} = \frac{0.4 \cdot 193 \cdot 5}{2 \cdot 88} \] \[ m_{Au} = \frac{0.2 \cdot 193 \cdot 5}{88} \] \[ m_{Au} = \frac{193}{88} \] \[ m_{Au} \approx 2.193 \text{ кг} \] Что-то пошло не так, масса золота не может быть больше массы сплава. Давайте пересчитаем. \[ \frac{0.4}{14000} = \frac{m_{Au}}{19300} + \frac{0.4 - m_{Au}}{10500} \] Умножим обе части на (14000 cdot 19300 cdot 10500): \[ 0.4 cdot 19300 cdot 10500 = m_{Au} cdot 14000 cdot 10500 + (0.4 - m_{Au}) cdot 14000 cdot 19300 \] \[ 0.4 cdot 19300 cdot 10500 = 147000000 cdot m_{Au} + 0.4 cdot 270200000 - 270200000 cdot m_{Au} \] \[ 81060000 = 147000000 cdot m_{Au} + 108080000 - 270200000 cdot m_{Au} \] \[ 81060000 - 108080000 = -123200000 cdot m_{Au} \] \[ -27020000 = -123200000 cdot m_{Au} \] \[ m_{Au} = \frac{27020000}{123200000} \] \[ m_{Au} = \frac{2702}{12320} \] \[ m_{Au} = \frac{1351}{6160} \approx 0.2193 \text{ кг} \] Итак, масса золота в сплаве составляет примерно 0.2193 кг, или 219.3 грамма. Ответ: 219.3 грамма