Определите площадь полной поверхности конуса, если образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, в основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 12 см, а противолежащий угол равен 30°.

Для начала вспомним формулу площади полной поверхности конуса:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$$

Где:

• $$S_{осн}$$ - площадь основания конуса (круг)
• $$S_{бок}$$ - площадь боковой поверхности конуса

И формулы для их вычисления:

$$S_{осн} = \pi r^2$$ $$S_{бок} = \pi r l$$

Где:

• r - радиус основания конуса
• l - образующая конуса

Таким образом, нам нужно найти радиус основания конуса и образующую конуса.

1. Найдем радиус основания конуса.

В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна 12 см, а противолежащий угол равен 30°. Воспользуемся теоремой синусов, чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, которая и будет радиусом основания конуса:

$$\frac{a}{\sin{\alpha}} = 2R$$

Где:

• a - сторона треугольника (12 см)
• $$\alpha$$ - противолежащий угол (30°)
• R - радиус описанной окружности

Тогда:

$$R = \frac{a}{2\sin{\alpha}} = \frac{12}{2\sin{30°}} = \frac{12}{2 \cdot 0.5} = 12 \text{ см}$$

Итак, радиус основания конуса равен 12 см.

2. Найдем образующую конуса.

Из условия известно, что образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. Угол между образующей и радиусом равен 60°. Тогда:

$$\cos{60°} = \frac{r}{l}$$

Где:

• r - радиус основания (12 см)
• l - образующая конуса

Тогда:

$$l = \frac{r}{\cos{60°}} = \frac{12}{0.5} = 24 \text{ см}$$

Итак, образующая конуса равна 24 см.

3. Найдем площадь основания конуса:

$$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \text{ см}^2$$

4. Найдем площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 24 = 288\pi \text{ см}^2$$

5. Найдем площадь полной поверхности конуса:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 144\pi + 288\pi = 432\pi \text{ см}^2$$

Ответ: 432