Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

Нам дана функция: $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash right|\; +\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; +\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash right)\; \backslash ]$$ И нужно найти такие значения m, при которых прямая y = m пересекает график этой функции ровно в одной точке. Это значит, что нам нужно найти значения y, которые функция принимает только один раз.

Для начала, давай упростим выражение для y. Заметим, что для x > 0: $$\backslash [\; \backslash left|\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash ]$$ так как x / 3.5 > 3.5 / x при x > 3.5, и наоборот при 0 < x < 3.5. Однако, если мы раскроем модуль, нам придется рассматривать разные случаи для x. Давай попробуем другой подход.

Рассмотрим случай, когда x > 0. Тогда: $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; +\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; +\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; 2\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; \backslash ]$$ Это верно, если x / 3.5 >= 3.5 / x, то есть x² >= 3.5², что для x > 0 означает x >= 3.5.

Теперь рассмотрим случай, когда x < 0. Обозначим x = -t, где t > 0. Тогда: $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; \backslash frac\{-t\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{-t\}\; \backslash right|\; +\; \backslash frac\{-t\}\{3.5\}\; +\; \backslash frac\{3.5\}\{-t\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; -\backslash frac\{t\}\{3.5\}\; +\; \backslash frac\{3.5\}\{t\}\; \backslash right|\; -\; \backslash frac\{t\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{t\}\; \backslash right)\; \backslash ]$$ Теперь, если t / 3.5 >= 3.5 / t (то есть t >= 3.5, а значит x <= -3.5), то | -t/3.5 + 3.5/t | = -( -t/3.5 + 3.5/t ) = t/3.5 - 3.5/t. $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{t\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{t\}\; -\; \backslash frac\{t\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{t\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; -2\; \backslash frac\{3.5\}\{t\}\; \backslash right)\; =\; -\backslash frac\{3.5\}\{t\}\; =\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash ]$$ Это верно для x <= -3.5.

Что происходит, когда |x| < 3.5? Здесь раскрытие модуля становится более сложным, и функция может принимать разные значения. Однако, мы ищем значения m, при которых прямая y = m пересекает график ровно один раз. Это часто происходит в точках экстремума или там, где функция меняет свое поведение.

Давай обратим внимание на частичные случаи:

• Если x > 0, то y = x / 3.5. Это прямая линия, которая принимает все положительные значения.
• Если x < 0, то y = 3.5 / x. Эта функция гипербола, которая принимает все отрицательные значения.

Если мы объединим эти два случая, то график функции будет выглядеть следующим образом:

• При x >= 3.5, y = x / 3.5 (часть прямой, начиная с (3.5, 1)).
• При x <= -3.5, y = 3.5 / x (часть гиперболы, заканчиваясь в (-3.5, -1)).

Теперь самое интересное: что происходит, когда -3.5 < x < 3.5 и x != 0? Функция упрощается до: $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash right|\; +\; \backslash frac\{x\}\{3.5\}\; +\; \backslash frac\{3.5\}\{x\}\; \backslash right)\; \backslash ]$$ Попробуем подставить граничные значения, которые мы нашли:

• При x = 3.5: y = 3.5 / 3.5 = 1.
• При x = -3.5: y = 3.5 / (-3.5) = -1.

Для x > 0, график представляет собой y = x / 3.5. Это прямая, проходящая через начало координат. Значения y начинаются от 0 (при x=0, но x не может быть 0) и уходят в бесконечность. Минимальное значение в этой части графика (где x > 0) при x=3.5, где y=1. Для x > 3.5, y > 1.

Для x < 0, график представляет собой y = 3.5 / x. Это гипербола. При x, стремящемся к 0 справа (x -> +0), y -> +бесконечность. При x, стремящемся к 0 слева (x -> -0), y -> -бесконечность. Для x < -3.5, y < -1.

Теперь, давайте посмотрим на возможные значения m:

• m = 1: Прямая y = 1 пересекает график y = x / 3.5 при x = 3.5. Также, возможно, она пересекает график в другой части.
• m = 3.5: Эта прямая будет пересекать график.
• m = -3.5: Эта прямая будет пересекать график.
• m = 0: Прямая y = 0 (ось x). Эта функция не определена при x=0. Для x>0, y>0. Для x<0, y<0. Поэтому y=0 никогда не достигается.
• m = -1: Прямая y = -1 пересекает график y = 3.5 / x при x = -3.5.

Чтобы найти точки, где есть ровно одно пересечение, нам нужно проанализировать поведение функции.

Рассмотрим функцию f(x) = |x| / 3.5 + 3.5 / |x|. Тогда наша функция y связана с этим выражением.

Давайте рассмотрим функцию g(x) = |x/3.5 + 3.5/x|. Это не совсем то.

Давайте вернемся к упрощенному виду:

• Для x > 0, y = x / 3.5, но только при условии, что x / 3.5 >= 3.5 / x, то есть x >= 3.5. В этом случае y >= 1.
• Для x < 0, y = 3.5 / x, но только при условии, что - (x / 3.5 - 3.5 / x) >= 0, то есть -x / 3.5 + 3.5 / x >= 0. Если x < 0, то -x > 0. Пусть x = -t, где t > 0. Тогда t / 3.5 + 3.5 / t >= 0, что всегда верно для t > 0. Но нам нужно чтобы | -t/3.5 + 3.5/t | = -(-t/3.5 + 3.5/t). Это происходит, когда -t/3.5 + 3.5/t <= 0, то есть 3.5/t <= t/3.5, что означает 3.5^2 <= t^2, или t >= 3.5. Это значит x <= -3.5. В этом случае y = 3.5 / x <= -1.

Итак, у нас есть:

• y = x / 3.5 для x >= 3.5 (значения y >= 1)
• y = 3.5 / x для x <= -3.5 (значения y <= -1)

Что происходит в интервале -3.5 < x < 3.5, x != 0? Давайте проверим функцию в этой области.

При x близком к 0 (например, x = 0.1): $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; \backslash frac\{0.1\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{0.1\}\; \backslash right|\; +\; \backslash frac\{0.1\}\{3.5\}\; +\; \backslash frac\{3.5\}\{0.1\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; 0.028...\; -\; 35\; \backslash right|\; +\; 0.028...\; +\; 35\; \backslash right)\; \backslash ]$$ $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; 34.97...\; +\; 0.028...\; +\; 35\; \backslash right)\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (70)\; =\; 35\; \backslash ]$$ Это большое положительное значение.

При x близком к 0 (например, x = -0.1): $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; \backslash frac\{-0.1\}\{3.5\}\; -\; \backslash frac\{3.5\}\{-0.1\}\; \backslash right|\; +\; \backslash frac\{-0.1\}\{3.5\}\; +\; \backslash frac\{3.5\}\{-0.1\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; \backslash left|\; -0.028...\; +\; 35\; \backslash right|\; -\; 0.028...\; -\; 35\; \backslash right)\; \backslash ]$$ $$\backslash [\; y\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash left(\; 34.97...\; -\; 0.028...\; -\; 35\; \backslash right)\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (0)\; =\; 0\; \backslash ]$$ Это очень маленькое значение.

Это не совсем так. Давайте пересмотрим упрощение.

Рассмотрим функцию y = (1/2) * (|A| + B), где A = x/3.5 - 3.5/x и B = x/3.5 + 3.5/x.

Если A >= 0 (то есть x/3.5 >= 3.5/x, что для x > 0 означает x >= 3.5, а для x < 0 означает x <= -3.5):

• Для x >= 3.5: y = (1/2) * (A + B) = (1/2) * (x/3.5 - 3.5/x + x/3.5 + 3.5/x) = x/3.5. Значения y >= 1.
• Для x <= -3.5: y = (1/2) * (A + B) = (1/2) * (x/3.5 - 3.5/x + x/3.5 + 3.5/x) = x/3.5. Значения y <= -1 (так как x <= -3.5, то x/3.5 <= -1).

Если A < 0 (то есть -3.5 < x < 3.5, x != 0):

• Тогда |A| = -A = -(x/3.5 - 3.5/x) = 3.5/x - x/3.5.
• y = (1/2) * (-A + B) = (1/2) * (3.5/x - x/3.5 + x/3.5 + 3.5/x) = (1/2) * (2 * 3.5/x) = 3.5/x.

Итак, наше полное определение функции:

• y = x / 3.5, если x >= 3.5 (значения y >= 1)
• y = 3.5 / x, если -3.5 < x < 3.5, x != 0 (значения y могут быть как положительными, так и отрицательными. При x->0+, y->+inf. При x->0-, y->-inf. При x->3.5-, y->1+. При x->-3.5+, y->-1-).
• y = 3.5 / x, если x <= -3.5 (значения y <= -1)

Объединяя случаи:

• y = x / 3.5 для x >= 3.5 (y >= 1)
• y = 3.5 / x для -3.5 < x < 3.5, x != 0
• y = 3.5 / x для x <= -3.5 (y <= -1)

Это означает, что для x <= -3.5 и для x >= 3.5, мы имеем:

• y = x / 3.5 при x >= 3.5
• y = 3.5 / x при x <= -3.5

А в интервале (-3.5, 0) U (0, 3.5), функция равна 3.5 / x.

График состоит из:

• Части прямой y = x / 3.5 для x >= 3.5 (полупрямая, начинающаяся в точке (3.5, 1) и уходящая вверх).
• Части гиперболы y = 3.5 / x для x в интервале (-3.5, 0) U (0, 3.5).
• Части гиперболы y = 3.5 / x для x <= -3.5 (часть гиперболы, заканчивающаяся в точке (-3.5, -1) и уходящая влево вниз).

Давайте пересмотрим функцию:

y = 1/2 * (|x/3.5 - 3.5/x| + x/3.5 + 3.5/x)

Для x > 0:

• Если x/3.5 >= 3.5/x (т.е. x >= 3.5), то y = 1/2 * (x/3.5 - 3.5/x + x/3.5 + 3.5/x) = x/3.5. Значения y >= 1.
• Если x/3.5 < 3.5/x (т.е. 0 < x < 3.5), то y = 1/2 * (-(x/3.5 - 3.5/x) + x/3.5 + 3.5/x) = 1/2 * (-x/3.5 + 3.5/x + x/3.5 + 3.5/x) = 3.5/x. Значения y > 1 (при x=3.5, y=1; при x->0+, y->+inf).

Для x < 0:

• Пусть x = -t, где t > 0.
• y = 1/2 * (| -t/3.5 + 3.5/t | + (-t/3.5) + (-3.5/t)) = 1/2 * (| 3.5/t - t/3.5 | - t/3.5 - 3.5/t)
• Если 3.5/t >= t/3.5 (т.е. t <= 3.5, или -3.5 <= x < 0), то | 3.5/t - t/3.5 | = 3.5/t - t/3.5.
• y = 1/2 * (3.5/t - t/3.5 - t/3.5 - 3.5/t) = 1/2 * (-2*t/3.5) = -t/3.5 = x/3.5. Значения y от -1 (при x=-3.5) до 0 (при x->0-).
• Если 3.5/t < t/3.5 (т.е. t > 3.5, или x < -3.5), то | 3.5/t - t/3.5 | = -(3.5/t - t/3.5) = t/3.5 - 3.5/t.
• y = 1/2 * (t/3.5 - 3.5/t - t/3.5 - 3.5/t) = 1/2 * (-2*3.5/t) = -3.5/t = 3.5/x. Значения y < -1 (при x=-3.5, y=-1; при x->-inf, y->0-).

Итак, функция выглядит так:

• y = 3.5 / x, если 0 < x < 3.5 (y > 1)
• y = x / 3.5, если x >= 3.5 (y >= 1)
• y = x / 3.5, если -3.5 <= x < 0 (y от -1 до 0)
• y = 3.5 / x, если x < -3.5 (y < -1)

Теперь рассмотрим прямую y = m.

• Для m > 1: Прямая y = m пересечет обе ветви графика (y = 3.5/x для 0 < x < 3.5 и y = x/3.5 для x >= 3.5). Это даст два пересечения.
• Для m = 1: Прямая y = 1 пересекает y = x / 3.5 при x = 3.5 (одна точка). Также она пересекает y = 3.5 / x при x = 3.5. В данном случае, точка (3.5, 1) является