Анализ выражений и определение допустимых значений переменной

Для того чтобы определить, при каких значениях переменной x выражение имеет смысл, необходимо рассмотреть каждое выражение и исключить те значения x, при которых знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль не определено.

1. $$ \frac{3}{2x-7} $$
   Условие: $$ 2x - 7
   eq 0 $$
   Решение: $$ x
   eq \frac{7}{2} = 3.5 $$
   Ответ: при любых значениях x, кроме 3.5.
2. $$ \frac{21}{8-6x} $$
   Условие: $$ 8 - 6x
   eq 0 $$
   Решение: $$ 6x
   eq 8 \Rightarrow x
   eq \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$
   Ответ: при любых значениях x, кроме 4/3.
3. $$ \frac{1}{4x+1} $$
   Условие: $$ 4x + 1
   eq 0 $$
   Решение: $$ 4x
   eq -1 \Rightarrow x
   eq -\frac{1}{4} $$
   Ответ: при любых значениях x, кроме -1/4.
4. $$ \frac{6+5x}{18} $$
   Знаменатель не содержит переменную x, поэтому выражение имеет смысл при любых значениях x.
   Ответ: при любых значениях x.
5. $$ \frac{2(3x-7)}{5} $$
   Знаменатель не содержит переменную x, поэтому выражение имеет смысл при любых значениях x.
   Ответ: при любых значениях x.
6. $$ \frac{9}{13(x-2)} $$
   Условие: $$ 13(x-2)
   eq 0 $$
   Решение: $$ x - 2
   eq 0 \Rightarrow x
   eq 2 $$
   Ответ: при любых значениях x, кроме 2.
7. $$ \frac{-11}{3(x+1)} $$
   Условие: $$ 3(x+1)
   eq 0 $$
   Решение: $$ x + 1
   eq 0 \Rightarrow x
   eq -1 $$
   Ответ: при любых значениях x, кроме -1.
8. $$ \frac{8}{x^2} $$
   Условие: $$ x^2
   eq 0 $$
   Решение: $$ x
   eq 0 $$
   Ответ: при любых значениях x, кроме 0.
9. $$ \frac{-5}{x^2} $$
   Условие: $$ x^2
   eq 0 $$
   Решение: $$ x
   eq 0 $$
   Ответ: при любых значениях x, кроме 0.
10. $$ \frac{x^2}{4} $$
    Знаменатель не содержит переменную x, поэтому выражение имеет смысл при любых значениях x.
    Ответ: при любых значениях x.
11. $$ \frac{8}{|x|} $$
    Условие: $$ |x|
    eq 0 $$
    Решение: $$ x
    eq 0 $$
    Ответ: при любых значениях x, кроме 0.
12. $$ \frac{2}{|x|-1} $$
    Условие: $$ |x| - 1
    eq 0 $$
    Решение: $$ |x|
    eq 1 \Rightarrow x
    eq \pm 1 $$
    Ответ: при любых значениях x, кроме 1 и -1.
13. $$ \frac{-6}{|x|-3} $$
    Условие: $$ |x| - 3
    eq 0 $$
    Решение: $$ |x|
    eq 3 \Rightarrow x
    eq \pm 3 $$
    Ответ: при любых значениях x, кроме 3 и -3.
14. $$ \frac{3}{|x|+2} $$
    Так как $$ |x| \geq 0 $$ для любого x, то $$ |x| + 2 \geq 2 > 0 $$
    Ответ: при любых значениях x.
15. $$ \frac{2}{x^2+1} $$
    Так как $$ x^2 \geq 0 $$ для любого x, то $$ x^2 + 1 \geq 1 > 0 $$
    Ответ: при любых значениях x.
16. $$ \frac{-16}{x^2+25} $$
    Так как $$ x^2 \geq 0 $$ для любого x, то $$ x^2 + 25 \geq 25 > 0 $$
    Ответ: при любых значениях x.