3. Определите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = lnx-x.

Ответ: Функция возрастает на (0, 1], убывает на [1, +∞).

Решение:

• Найдем производную функции f(x) = lnx - x: f'(x) = 1/x - 1.
• Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 1/x - 1 = 0, откуда x = 1.
• Определим знак производной на промежутках:
• На (0, 1): f'(x) > 0 (например, f'(0.5) = 1/0.5 - 1 = 1 > 0), следовательно, функция возрастает.
• На (1, +∞): f'(x) < 0 (например, f'(2) = 1/2 - 1 = -0.5 < 0), следовательно, функция убывает.

Ответ: Функция возрастает на (0, 1], убывает на [1, +∞).