Определите промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции $y = f(x)$ на основе данных о производной $y = f'(x)$.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. У нас есть данные о производной функции, и мы должны определить, как ведет себя сама функция: где она возрастает, где убывает, и в каких точках у нее максимум или минимум. Вот таблица, которую нам дали: | x | (-∞; -4) | -4 | (-4; 1) | 1 | (1; 15) | 15 | (15; +∞) | |------------|-----------|----|----------|---|---------|----|-----------| | y = f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | 0 | + | а) **Промежутки возрастания функции $y = f(x)$**: Функция возрастает там, где ее производная положительна (то есть $f'(x) > 0$). Из таблицы видим, что $f'(x) > 0$ на следующих промежутках: * (-∞; -4) * (1; 15) * (15; +∞) Поскольку в точках -4, 1 и 15 производная равна нулю, мы можем включить эти точки в интервалы возрастания (функция не убывает, а возрастает или находится в состоянии покоя). Таким образом, функция возрастает на промежутках: * $(-∞, -4]$ * $[1, 15]$ * $[15, +∞)$ б) **Промежутки убывания функции $y = f(x)$**: Функция убывает там, где ее производная отрицательна (то есть $f'(x) < 0$). Из таблицы видим, что $f'(x) < 0$ на промежутке (-4; 1). Следовательно, функция убывает на промежутке: * [-4; 1] в) **Точки максимума функции $y = f(x)$**: Точка максимума – это точка, где функция меняет направление с возрастания на убывание. Это происходит, когда производная меняет знак с плюса на минус. Из таблицы видим, что это происходит в точке x = -4. Следовательно, точка максимума: $x = -4$ г) **Точки минимума функции $y = f(x)$**: Точка минимума – это точка, где функция меняет направление с убывания на возрастание. Это происходит, когда производная меняет знак с минуса на плюс. Из таблицы видим, что это происходит в точках x = 1 и x = 15. Следовательно, точки минимума: $x = 1$ и $x = 15$ **Ответ:** а) Промежутки возрастания функции $y = f(x)$: * $(-∞, -4]$ * $[1, 15]$ * $[15, +∞)$ б) Промежуток убывания функции $y = f(x)$: * [-4; 1] в) Точка максимума функции $y = f(x)$: $x = -4$ г) Точки минимума функции $y = f(x)$: $x = 1$, $x = 15$ Надеюсь, теперь вам все понятно! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.