2. Определите, существует ли треугольник с периметром 47 см, в котором одна сторона меньше другой на 10 см и больше третьей на 5 см. Ответ обоснуйте.

Пусть $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - стороны треугольника. По условию, одна сторона меньше другой на 10 см и больше третьей на 5 см. Предположим, что $$b = a - 10$$ и $$c = a - 5$$. Периметр треугольника равен 47 см, поэтому: $$a + b + c = 47$$ $$a + (a - 10) + (a - 5) = 47$$ $$3a - 15 = 47$$ $$3a = 62$$ $$a = rac{62}{3} ≈ 20.67$$ см $$b = a - 10 = rac{62}{3} - 10 = rac{32}{3} ≈ 10.67$$ см $$c = a - 5 = rac{62}{3} - 5 = rac{47}{3} ≈ 15.67$$ см Для существования треугольника необходимо, чтобы сумма любых двух сторон была больше третьей стороны. Проверим это условие: $$a + b > c$$: $$rac{62}{3} + rac{32}{3} > rac{47}{3}$$ $$Rightarrow$$ $$rac{94}{3} > rac{47}{3}$$ (верно) $$a + c > b$$: $$rac{62}{3} + rac{47}{3} > rac{32}{3}$$ $$Rightarrow$$ $$rac{109}{3} > rac{32}{3}$$ (верно) $$b + c > a$$: $$rac{32}{3} + rac{47}{3} > rac{62}{3}$$ $$Rightarrow$$ $$rac{79}{3} > rac{62}{3}$$ (верно) Так как неравенство треугольника выполняется, такой треугольник существует. Ответ: Да, существует.