Определите величину угла между векторами \(\vec{AB} \{0;-3\}\) и \(\vec{CD} \{-4;-4\}\).

Для решения этой задачи необходимо вспомнить формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами: $$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) – скалярное произведение векторов, а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) – их длины. В нашем случае, векторы \(\vec{AB} = (0, -3)\) и \(\vec{CD} = (-4, -4)\). 1. **Найдем скалярное произведение векторов:** $$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (0 \cdot -4) + (-3 \cdot -4) = 0 + 12 = 12$$ 2. **Найдем длины векторов:** Длина вектора \(\vec{AB}\): $$|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3$$ Длина вектора \(\vec{CD}\): $$|\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ 3. **Подставим значения в формулу косинуса угла:** $$\cos{\theta} = \frac{12}{3 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4. **Найдем угол \(\theta\), косинус которого равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):** Мы знаем, что \(\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, угол \(\theta = 45^\circ\). **Ответ:** Угол между векторами равен 45°.