Определите все уравнения, которые сводятся к уравнению с разделяющимися переменными.

Чтобы определить, какие из уравнений сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными, нужно проанализировать каждое уравнение и попытаться выразить его в виде, где переменные можно разделить, то есть привести к виду $$f(y)dy = g(x)dx$$.

1. $$y' = cos(x + y)$$: Это уравнение можно привести к виду с разделяющимися переменными, сделав замену $$z = x + y$$, тогда $$y' = z' - 1$$, и уравнение примет вид $$z' - 1 = cos(z)$$, или $$z' = 1 + cos(z)$$, что является уравнением с разделяющимися переменными.
2. $$y' = \frac{y}{x} + cos^2(\frac{y}{x})$$: Это уравнение является однородным, и его также можно свести к уравнению с разделяющимися переменными. Замена $$u = \frac{y}{x}$$, тогда $$y = ux$$, и $$y' = u'x + u$$. Подставляя в уравнение, получаем $$u'x + u = u + cos^2(u)$$, или $$u'x = cos^2(u)$$, что является уравнением с разделяющимися переменными.
3. $$y' = \frac{x + y + 1}{4x + 4y}$$: Это уравнение можно преобразовать, вынеся 4 из знаменателя: $$y' = \frac{x + y + 1}{4(x + y)}$$. Сделаем замену $$z = x + y$$, тогда $$y' = z' - 1$$. Подставляя в уравнение, получаем $$z' - 1 = \frac{z + 1}{4z}$$, или $$z' = \frac{z + 1}{4z} + 1 = \frac{z + 1 + 4z}{4z} = \frac{5z + 1}{4z}$$, что является уравнением с разделяющимися переменными.
4. $$y' = \frac{x + 4y + 4}{4x + 4y}$$: Это уравнение также можно привести к виду с разделяющимися переменными. Разделим числитель и знаменатель на x, получим $$y' = \frac{1 + 4\frac{y}{x} + \frac{4}{x}}{4 + 4\frac{y}{x}}$$. Сделаем замену $$z = \frac{y}{x}$$, тогда $$y = zx$$, и $$y' = z'x + z$$. Получим $$z'x + z = \frac{1 + 4z + \frac{4}{x}}{4 + 4z}$$. Дальнейшее разделение переменных здесь затруднительно, поэтому уравнение может не сводиться к уравнению с разделяющимися переменными.

Таким образом, первые три уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.