Определите значения остальных тригонометрических функций, если \(tg \, t = -\frac{5}{12}\), \(\frac{\pi}{2} < t < \pi\).

Давайте решим эту задачу вместе. Нам дано, что \(tg \, t = -\frac{5}{12}\) и \(\frac{\pi}{2} < t < \pi\). Это означает, что угол \(t\) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны. 1. **Найдем \(ctg \, t\)**: \(ctg \, t\) - это обратная величина \(tg \, t\), поэтому: \[ctg \, t = \frac{1}{tg \, t} = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5}\] 2. **Найдем \(sin \, t\) и \(cos \, t\)**: Мы знаем, что \(tg \, t = \frac{sin \, t}{cos \, t}\), поэтому \(sin \, t = tg \, t \cdot cos \, t\). Также мы знаем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \, t + cos^2 \, t = 1\). Выразим \(sin \, t\) через \(cos \, t\) из \(tg \, t\): \(sin \, t = -\frac{5}{12} cos \, t\). Подставим это выражение в основное тригонометрическое тождество: \[\left(-\frac{5}{12} cos \, t\right)^2 + cos^2 \, t = 1\] \[\frac{25}{144} cos^2 \, t + cos^2 \, t = 1\] \[\frac{169}{144} cos^2 \, t = 1\] \[cos^2 \, t = \frac{144}{169}\] \[cos \, t = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}\] Так как \(t\) во второй четверти, \(cos \, t\) отрицателен, поэтому: \[cos \, t = -\frac{12}{13}\] Теперь найдем \(sin \, t\): \[sin \, t = -\frac{5}{12} cos \, t = -\frac{5}{12} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{5}{13}\] Итак, мы нашли все тригонометрические функции: \[sin \, t = \frac{5}{13}\] \[cos \, t = -\frac{12}{13}\] \[ctg \, t = -\frac{12}{5}\]