19. Осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Вычисли объём конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса - равносторонний треугольник со стороной 12 см. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому образующая конуса равна 12 см, а диаметр основания конуса также равен 12 см, следовательно, радиус основания равен половине диаметра, то есть 6 см. Высота конуса является высотой равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - сторона треугольника. В нашем случае $a = 12$ см, поэтому: $h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Теперь мы можем вычислить объём конуса по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания, $h$ - высота конуса. Подставляем известные значения: $R = 6$ см, $h = 6\sqrt{3}$ см. $V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (6\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \pi (36) (6\sqrt{3}) = 72\pi \sqrt{3}$ см$^3$. Таким образом, объём конуса равен $72\sqrt{3} \pi$ см$^3$. Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа. Выражение в условии: $\frac{\cdot \sqrt{3} \cdot \pi}{3}$ см$^3$. У нас получилось $72\sqrt{3} \pi$ см$^3$. Чтобы получить дробь со знаменателем 3, можно записать это как $\frac{216 \sqrt{3} \pi}{3}$. Следовательно, в числителе должен быть коэффициент 216. Ответ: 72