Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, сторона которого равна 20 мм. Вычисли объем конуса.

Для начала вспомним, что осевое сечение конуса - это треугольник, образованный при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. В нашем случае, это равносторонний треугольник, сторона которого равна 20 мм.

Так как сечение - равносторонний треугольник, то его сторона равна образующей конуса, а также диаметру основания конуса. Значит, радиус основания конуса равен половине стороны треугольника.

Найдем радиус основания конуса:

$$r = \frac{20}{2} = 10 \text{ мм}$$

Высота конуса является высотой равностороннего треугольника. Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

где $$a$$ - сторона равностороннего треугольника. В нашем случае $$a = 20$$ мм.

Найдем высоту конуса:

$$h = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ мм}$$

Теперь, когда мы знаем радиус основания и высоту конуса, мы можем вычислить его объем. Формула объема конуса выглядит следующим образом:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Подставим известные значения:

$$V = \frac{1}{3}\pi (10)^2 (10\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 100 \cdot 10\sqrt{3} = \frac{1000\sqrt{3}}{3} \pi \text{ мм}^3$$

Таким образом, объем конуса равен $$\frac{1000\sqrt{3}}{3} \pi$$ кубических миллиметров.

Ответ: 1000