Осевым сечением усечённого конуса является равнобедренная трапеция с углом в 45°. Найдите объём усечённого конуса, если площади оснований равны $$4\pi$$ и $$25\pi$$. В ответе укажите объём, делённый на $$\pi$$.

Решение: 1. Найдем радиусы оснований конуса. Площадь круга вычисляется по формуле $$S = \pi r^2$$. По условию, площади оснований равны $$4\pi$$ и $$25\pi$$. Следовательно: $$\pi r_1^2 = 4\pi \Rightarrow r_1^2 = 4 \Rightarrow r_1 = 2$$ $$\pi r_2^2 = 25\pi \Rightarrow r_2^2 = 25 \Rightarrow r_2 = 5$$ Здесь $$r_1$$ и $$r_2$$ – радиусы меньшего и большего оснований соответственно. 2. Найдем высоту конуса. Так как осевое сечение - равнобедренная трапеция с углом $$45^\circ$$, высота трапеции равна разности радиусов оснований. Это следует из того, что $$\tan 45^\circ = 1$$, и высота является катетом в прямоугольном треугольнике, где второй катет - разность радиусов. $$h = r_2 - r_1 = 5 - 2 = 3$$ 3. Вычислим объём усечённого конуса по формуле: $$V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$$ Подставим известные значения: $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 (2^2 + 2 \cdot 5 + 5^2) = \pi (4 + 10 + 25) = 39\pi$$ 4. В ответе нужно указать объём, делённый на $$\pi$$. Таким образом, ответ: $$\frac{V}{\pi} = \frac{39\pi}{\pi} = 39$$ Ответ: 39