Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Для решения задачи, нам понадобятся знания свойств касательных к окружности, равнобедренных треугольников и подобия треугольников. Обозначим радиус вписанной окружности как r. 1. Изобразим чертёж. (К сожалению, я не могу вставить изображение, но представьте равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Вне треугольника нарисована окружность, касающаяся продолжений сторон AB и BC, а также основания AC. Внутри треугольника нарисована вписанная окружность). 2. Обозначения. * Пусть O₁ – центр вневписанной окружности, O₂ – центр вписанной окружности. * R – радиус вневписанной окружности (R = 8). * r – радиус вписанной окружности (необходимо найти). * AC = 12, следовательно, полупериметр p = (AB + BC + AC) / 2. Так как треугольник равнобедренный, AB = BC. * Пусть высота, проведенная из вершины B, пересекает AC в точке H. 3. Свойства касательных и высоты. * Высота BH является осью симметрии треугольника ABC. * Центры O₁ и O₂ лежат на высоте BH. * Расстояние от A до точки касания вневписанной окружности с AC равно полупериметру треугольника (p). 4. Подобие треугольников. * Треугольник ABO₂ подобен треугольнику ABO₁. * Из подобия следует соотношение r / R = BH / (BH + 2R), где BH - высота треугольника ABC, R - радиус вневписанной окружности, r - радиус вписанной окружности. 5. Выразим BH. * AH = AC / 2 = 12 / 2 = 6. * Пусть AB = BC = x. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABH: BH² = AB² - AH² = x² - 6² = x² - 36. Следовательно, BH = √(x² - 36). 6. Найдём связь между x и r. * Площадь треугольника ABC равна S = 0.5 * AC * BH = 0.5 * 12 * √(x² - 36) = 6√(x² - 36). * Также площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности: S = p * r, где p = (x + x + 12) / 2 = x + 6. * Тогда 6√(x² - 36) = (x + 6) * r, следовательно, r = 6√(x² - 36) / (x + 6). 7. Решим уравнение относительно BH и r. * Используем соотношение из подобия: r / R = BH / (BH + 2R). * Подставим R = 8: r / 8 = BH / (BH + 16). * r = 8BH / (BH + 16). * Приравняем два выражения для r: 6√(x² - 36) / (x + 6) = 8√(x² - 36) / (√(x² - 36) + 16). 8. Упростим и решим уравнение. * Сократим на √(x² - 36) (предполагая, что x > 6, иначе треугольник не существует): 6 / (x + 6) = 8 / (√(x² - 36) + 16). * 6(√(x² - 36) + 16) = 8(x + 6). * 6√(x² - 36) + 96 = 8x + 48. * 6√(x² - 36) = 8x - 48. * 3√(x² - 36) = 4x - 24. * Возведем в квадрат обе части: 9(x² - 36) = 16x² - 192x + 576. * 9x² - 324 = 16x² - 192x + 576. * 0 = 7x² - 192x + 900. 9. Решим квадратное уравнение. * D = (-192)² - 4 * 7 * 900 = 36864 - 25200 = 11664. * x₁ = (192 + √11664) / 14 = (192 + 108) / 14 = 300 / 14 = 150 / 7. * x₂ = (192 - √11664) / 14 = (192 - 108) / 14 = 84 / 14 = 6 (не подходит, т.к. x > 6). * x = 150 / 7. 10. Найдем BH. * BH = √((150/7)² - 36) = √(22500/49 - 1764/49) = √(20736/49) = 144 / 7. 11. Найдем r. * r = 8 * BH / (BH + 16) = 8 * (144/7) / (144/7 + 16) = (1152/7) / (144/7 + 112/7) = (1152/7) / (256/7) = 1152 / 256 = 4.5 Ответ: 4.5