496 Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, а CD = √3.

Рассмотрим треугольник ADC, он прямоугольный, так как CD - высота. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2$$

Из условия задачи AD = BC, тогда

$$AC = \sqrt{BC^2 + CD^2}$$

Нужно найти BC. Рассмотрим треугольник ABC. AB = AD + DB = 3. Выразим DB = 3 - AD = 3 - BC.

Рассмотрим треугольник CDB, он прямоугольный, так как CD - высота. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = DB^2 + CD^2$$

Подставим известные значения:

$$BC^2 = (3 - BC)^2 + (\sqrt{3})^2$$

$$BC^2 = 9 - 6BC + BC^2 + 3$$

$$6BC = 12$$

$$BC = 2$$

Тогда AD = 2.

Найдем AC:

$$AC = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$$

Ответ: $$\sqrt{7}$$