Основание наклонного параллелепипеда – квадрат со стороной 2 см. Боковое ребро AA₁ = 2 см со сторонами AB и AD образовало равные острые углы. Определите длину диагонали DB₁ (результат округлите до одной десятой).

Для решения этой задачи нам потребуется применить знания геометрии и теорему косинусов. Обозначим сторону основания параллелепипеда как \( a = 2 \) см, а боковое ребро как \( b = 2 \) см. Так как боковое ребро образует равные острые углы со сторонами основания, пусть эти углы равны \( \alpha \). Диагональ основания \( BD \) можно найти, используя теорему Пифагора, так как основание – квадрат: \[BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] Теперь рассмотрим треугольник \( DBB_1 \). Нам нужно найти длину \( DB_1 \). Угол \( \angle DBD_1 \) равен углу между боковым ребром и стороной основания, то есть \( \alpha \). Используем теорему косинусов для треугольника \( DBB_1 \): \[DB_1^2 = BD^2 + BB_1^2 - 2 cdot BD cdot BB_1 \cdot \cos(\alpha)\] Так как по условию задачи боковое ребро образует равные острые углы со сторонами основания, то можно считать, что проекция \( B_1 \) находится ровно над центром квадрата основания. В этом случае, если опустить перпендикуляр из \( B_1 \) на плоскость основания (точку \( O \)), то \( OB = \frac{1}{2} BD = \sqrt{2} \). Тогда треугольник \( BB_1O \) – прямоугольный, и мы можем найти \( \cos(\alpha) \) как отношение прилежащего катета к гипотенузе: \[\cos(\alpha) = \frac{OB}{BB_1} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов: \[DB_1^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 cdot 2\sqrt{2} cdot 2 cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 + 4 - 8 = 4\] Следовательно, \[DB_1 = \sqrt{4} = 2\] Таким образом, длина диагонали \( DB_1 \) равна 2 см. Ответ: 2.0 см