Основание наклонного параллелепипеда — квадрат со стороной 5 см. Боковое ребро $AA_1 = 2$ см со сторонами $AB$ и $AD$ образовало равные острые углы. Определите длину диагонали $DB_1$ (результат округлите до одной десятой).

Давайте решим эту задачу по геометрии шаг за шагом. 1. Определение углов: Так как боковое ребро $AA_1$ образует равные острые углы со сторонами $AB$ и $AD$, обозначим эти углы как $\alpha$. Поскольку основание - квадрат, угол $BAD$ равен 90 градусам. 2. Проекция точки $A_1$ на плоскость $ABCD$: Обозначим проекцию точки $A_1$ на плоскость $ABCD$ как точку $O$. Тогда $AO$ - это проекция ребра $AA_1$ на плоскость основания. Углы $A_1AO$, $A_1DO$ и $A_1BO$ равны между собой. Поскольку $ABCD$ - квадрат, точка $O$ лежит на диагонали $AC$ квадрата. 3. Нахождение $AO$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1O$. В этом треугольнике $AA_1 = 2$ см. Мы знаем, что $\angle OAA_1 = \alpha$ и $\angle OAD = \alpha$. 4. Использование теоремы косинусов: Для нахождения длины диагонали $DB_1$ рассмотрим треугольник $DBB_1$. Нам известны стороны $DB$, $BB_1$ и угол между ними. Длина $DB$ равна $5\sqrt{2}$ см, так как это диагональ квадрата со стороной 5 см. Длина $BB_1$ равна $AA_1$, то есть 2 см. 5. Вычисление диагонали $DB_1$: Применим теорему косинусов к треугольнику $DBB_1$: $DB_1^2 = DB^2 + BB_1^2 - 2 cdot DB cdot BB_1 cdot \cos{\angle DBB_1}$ Чтобы найти $\cos{\angle DBB_1}$, рассмотрим проекцию $B_1$ на плоскость основания, которая является точкой $O$. Тогда $\angle DBB_1 = \angle DBO = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $AA_1O$ можно найти $AO = AA_1 \cos{\alpha} = 2 \cos{\alpha}$. Так как $O$ лежит на диагонали $AC$, а углы $A_1AB$ и $A_1AD$ равны, то и угол между $AO$ и $AD$ равен углу $\alpha$. Поскольку углы $A_1AB$ и $A_1AD$ равны, проекция $O$ точки $A_1$ лежит на диагонали $AC$. Из этого следует, что $\angle DBB_1$ является углом между диагональю квадрата и проекцией бокового ребра на плоскость основания. Так как $AA_1$ образует равные острые углы со сторонами $AB$ и $AD$, то $\angle DBB_1 = 45^{\circ}$. Теперь можно вычислить $DB_1$: $DB_1^2 = (5\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 cdot 5\sqrt{2} cdot 2 cdot \cos{45^{\circ}}$ $DB_1^2 = 50 + 4 - 20\sqrt{2} cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $DB_1^2 = 54 - 20$ $DB_1^2 = 34$ $DB_1 = \sqrt{34} \approx 5.8$ Ответ: Длина диагонали $DB_1$ примерно равна 5.8 см.