5. Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$4\sqrt{2}$$ см. Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом $$45^\circ$$. а) Найдите длины боковых ребер пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a) Пусть основание пирамиды - треугольник ABC, где угол C = 90 градусов, и AC = BC. Тогда гипотенуза AB = $$4\sqrt{2}$$. Так как треугольник равнобедренный, то $$AC = BC = a$$. По теореме Пифагора: $$a^2 + a^2 = (4\sqrt{2})^2$$, $$2a^2 = 16*2$$, $$a^2 = 16$$, $$a = 4$$. Таким образом, AC = BC = 4. Боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны плоскости основания. Это означает, что ребро, выходящее из вершины C, является высотой пирамиды. Пусть это ребро - SC. Так как грань SAB наклонена к основанию под углом 45 градусов, то высота, проведенная из вершины S к гипотенузе AB (назовем её SM), образует с плоскостью ABC угол 45 градусов. Тогда треугольник SMC - прямоугольный и равнобедренный (угол SMC = 90, угол SCM = 45, следовательно угол CSM = 45), а значит, SC = MC. MC - это медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, а значит, она равна половине гипотенузы: $$MC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} * 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$. Следовательно, $$SC = 2\sqrt{2}$$. Теперь найдем длины боковых ребер SA и SB. $$SA = \sqrt{AC^2 + SC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$. $$SB = \sqrt{BC^2 + SC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$. Таким образом, $$SA = SB = 2\sqrt{6}$$, $$SC = 2\sqrt{2}$$. б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. $$S_{бок} = S_{SAC} + S_{SBC} + S_{SAB}$$. $$S_{SAC} = \frac{1}{2} * AC * SC = \frac{1}{2} * 4 * 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$. $$S_{SBC} = \frac{1}{2} * BC * SC = \frac{1}{2} * 4 * 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$. Площадь грани SAB найдем как $$S_{SAB} = \frac{1}{2} * AB * SM$$. SM найдем из прямоугольного треугольника SMC: $$SM = \sqrt{SC^2 + MC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$$. $$S_{SAB} = \frac{1}{2} * 4\sqrt{2} * 4 = 8\sqrt{2}$$. $$S_{бок} = 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$. Ответ: а) $$SA = SB = 2\sqrt{6}$$, $$SC = 2\sqrt{2}$$; б) $$S_{бок} = 16\sqrt{2}$$