Основание пирамиды MABCD - квадрат, сторона которого равна 12 см. Боковое ребро MD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Угол между плоскостями основания и грани MAB равен 30°. Вычислите: a) расстояние от вершины пирамиды до прямой AC; б) площадь полной поверхности пирамиды.

Дано: Пирамида MABCD, ABCD - квадрат, AB = BC = CD = DA = 12 см, MD ⟂ (ABCD), угол между (ABC) и (MAB) равен 30°.

Найти: a) Расстояние от вершины M до прямой AC. б) Площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

a) Расстояние от вершины M до прямой AC.

Т.к. MD перпендикулярно плоскости основания, то MD - высота пирамиды. Пусть O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Тогда проекцией точки M на плоскость основания является точка D.

Искомое расстояние от M до AC равно длине перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AC. Пусть это будет отрезок MH, где H лежит на AC. Так как MD ⟂ (ABCD), то DO ⟂ AC (т.к. диагонали квадрата перпендикулярны).

Треугольник MAC - равнобедренный (MA = MC). Следовательно, MO ⟂ AC (высота является медианой). Значит, MH = MO. То есть, нужно найти MO.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDO. MD - катет, DO - катет, MO - гипотенуза. DO = 1/2 * AC. AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(12^2 + 12^2) = 12*sqrt(2). Следовательно, DO = 6*sqrt(2).

Определим угол между плоскостями (ABC) и (MAB). Опустим перпендикуляр DK на AB. Тогда MK ⟂ AB по теореме о трех перпендикулярах. Значит угол между плоскостями (ABC) и (MAB) это угол MKA, он равен 30° по условию.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDK. DK = AD = 12. MD = DK * tan(30°) = 12 * (1/sqrt(3)) = 4*sqrt(3).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MDO. MO = sqrt(MD^2 + DO^2) = sqrt((4*sqrt(3))^2 + (6*sqrt(2))^2) = sqrt(48 + 72) = sqrt(120) = 2*sqrt(30).

Таким образом, расстояние от вершины M до прямой AC равно MO = 2*sqrt(30).

Ответ: 2√30 см

б) Площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания (квадрата ABCD) равна AB^2 = 12^2 = 144.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей треугольников MAB, MBC, MCD, MDA.

Т.к. MD ⟂ (ABCD), то треугольники MDA и MDC - прямоугольные. Их площади равны: S(MDA) = S(MDC) = 1/2 * MD * AD = 1/2 * 4*sqrt(3) * 12 = 24*sqrt(3).

Треугольники MAB и MBC равны (по двум сторонам и углу между ними: AB = BC, MB - общая, углы между основанием и гранями MAB и MBC равны). Значит, их площади равны.

Чтобы найти площадь треугольника MAB, нужно найти длину MB. Рассмотрим прямоугольный треугольник MDB. MB = sqrt(MD^2 + DB^2). DB = AC = 12*sqrt(2). MB = sqrt((4*sqrt(3))^2 + (12*sqrt(2))^2) = sqrt(48 + 288) = sqrt(336) = 4*sqrt(21).

Площадь треугольника MAB равна 1/2 * AB * MK. MK = sqrt(MD^2 + DK^2) = sqrt((4*sqrt(3))^2 + 12^2) = sqrt(48 + 144) = sqrt(192) = 8*sqrt(3). S(MAB) = 1/2 * 12 * 8*sqrt(3) = 48*sqrt(3).

Площадь боковой поверхности равна S(MDA) + S(MDC) + S(MAB) + S(MBC) = 24*sqrt(3) + 24*sqrt(3) + 48*sqrt(3) + 48*sqrt(3) = 144*sqrt(3).

Площадь полной поверхности равна S(ABCD) + S(бок) = 144 + 144*sqrt(3) = 144(1 + sqrt(3)).

Ответ: 144(1 + √3) см²