3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна $$16\sqrt{2}$$ см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба (основания), $$D$$ - большая диагональ параллелепипеда, $$h$$ - высота параллелепипеда (боковое ребро), и $$\alpha$$ - угол между большой диагональю и боковым ребром (45°). Дано: $$d_1 = 12$$ см, $$D = 16\sqrt{2}$$ см, $$\alpha = 45°$$. Найдем высоту параллелепипеда $$h$$: $$\cos(\alpha) = \frac{h}{D}$$ $$\cos(45°) = \frac{h}{16\sqrt{2}}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{16\sqrt{2}}$$ $$h = 16\sqrt{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = 16$$ см Теперь найдем вторую диагональ ромба $$d_2$$: $$D^2 = d_2^2 + h^2$$ $$(16\sqrt{2})^2 = d_2^2 + 16^2$$ $$512 = d_2^2 + 256$$ $$d_2^2 = 512 - 256 = 256$$ $$d_2 = \sqrt{256} = 16$$ см Площадь основания (ромба) равна: $$S_{осн} = \frac{1}{2} * d_1 * d_2 = \frac{1}{2} * 12 * 16 = 96$$ см$$^2$$ Сторона ромба $$a$$ равна: $$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{(\frac{12}{2})^2 + (\frac{16}{2})^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ см Периметр основания равен: $$P_{осн} = 4 * a = 4 * 10 = 40$$ см Площадь боковой поверхности равна: $$S_{бок} = P_{осн} * h = 40 * 16 = 640$$ см$$^2$$ Площадь полной поверхности равна: $$S_{полн} = 2 * S_{осн} + S_{бок} = 2 * 96 + 640 = 192 + 640 = 832$$ см$$^2$$ Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 832 см$$^2$$.