Основание прямоугольного параллелепипеда-квадрат. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна 6 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

Пусть сторона квадрата в основании равна \( a \). Высота параллелепипеда \( h = 6 \) см. Диагональ параллелепипеда \( d \). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания \( \alpha = 45^{\circ} \).

Диагональ основания квадрата \( d_{base} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой параллелепипеда, диагональю основания и диагональю параллелепипеда. В этом треугольнике:

• Катеты: \( h \) и \( d_{base} \).
• Гипотенуза: \( d \).

Тангенс угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали основания:

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{h}{d_{base}} \)

1. Подставим известные значения: \( \operatorname{tg} 45^{\circ} = \frac{6}{a\sqrt{2}} \).
2. Так как \( \operatorname{tg} 45^{\circ} = 1 \), имеем: \( 1 = \frac{6}{a\sqrt{2}} \).
3. Отсюда \( a\sqrt{2} = 6 \).
4. Найдем сторону основания \( a \): \( a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \) см.
5. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( V = \text{площадь основания} \times \text{высота} \).
6. Площадь основания (квадрата) равна \( S_{base} = a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 \) см².
7. Вычислим объем: \( V = S_{base} \times h = 18 \times 6 \).
8. \( V = 108 \) см³.

Ответ: 108 см³.