Основание прямой призмы — ромб с острым углом $$30^{\circ}$$, высота призмы равна 19 см. Цилиндр с боковой поверхностью $$114\pi \, см^2$$ вписан в призму. Определи площадь боковой поверхности призмы. (Если в ответе нет корня, под знаком корня пиши 1.) Ответ: $$S_{пр.} = \square \sqrt{\square} (см^2)$$.

Привет! Давай решим эту задачу вместе. 1. Вспомним, что такое цилиндр, вписанный в призму. Это означает, что окружности оснований цилиндра вписаны в основания призмы, которые являются ромбами. 2. Вспомним формулу площади боковой поверхности цилиндра: $$S_{цил} = 2\pi r h$$, где $$r$$ – радиус основания цилиндра, $$h$$ – высота цилиндра. В нашем случае $$S_{цил} = 114\pi \, см^2$$ и $$h = 19 \, см$$. 3. Найдем радиус основания цилиндра: Подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности цилиндра: $$114\pi = 2\pi r \cdot 19$$ Разделим обе части уравнения на $$2\pi$$: $$57 = r \cdot 19$$ Выразим радиус: $$r = \frac{57}{19} = 3 \, см$$ 4. Определим сторону ромба: Так как окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Обозначим сторону ромба как $$a$$. Высота ромба, проведенная к стороне $$a$$, равна $$2r$$. Используем формулу площади ромба через сторону и угол: $$S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$$, где $$\alpha$$ – острый угол ромба. Также площадь ромба можно выразить через сторону и высоту: $$S_{ромба} = a \cdot h = a \cdot 2r$$. Приравняем эти два выражения для площади ромба: $$a^2 \sin(30^{\circ}) = a \cdot 2r$$. Поскольку $$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$$, то уравнение принимает вид: $$a^2 \cdot \frac{1}{2} = a \cdot 2r$$. Разделим обе части уравнения на $$a$$ (поскольку $$a
eq 0$$): $$\frac{1}{2} a = 2r$$ Выразим сторону ромба $$a$$: $$a = 4r = 4 \cdot 3 = 12 \, см$$ 5. Вычислим площадь боковой поверхности призмы: Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания, умноженному на высоту призмы. Периметр ромба равен $$4a$$. $$S_{бок. призм.} = P \cdot h = 4a \cdot h = 4 \cdot 12 \cdot 19 = 912 \, см^2$$. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна $$912 \, см^2$$. Ответ: $$S_{пр.} = 912 \sqrt{1} (см^2)$$. Ответ: 912 1