Основание прямой призмы — ромб с острым углом 30°, высота призмы равна 23 см. Цилиндр с боковой поверхностью $$276\pi$$ см² вписан в призму. Определи площадь боковой поверхности призмы. (Если в ответе нет корня, под знаком корня пиши 1.)

Для начала, давай вспомним, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Нам известна высота призмы, она равна 23 см. Нужно найти периметр основания.

Основание призмы — ромб с углом 30°. В ромб вписан цилиндр, значит, окружность основания цилиндра вписана в этот ромб. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$276\pi$$ см². Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле $$S_{бок} = 2\pi r h$$, где $$r$$ — радиус основания цилиндра, а $$h$$ — высота цилиндра. В нашем случае высота цилиндра равна высоте призмы, то есть 23 см. Тогда:

$$2\pi r \cdot 23 = 276\pi$$

Разделим обе части уравнения на $$2\pi$$:

$$23r = 138$$

Отсюда найдем радиус основания цилиндра:

$$r = \frac{138}{23} = 6 \text{ см}$$

Теперь рассмотрим ромб. Так как в него вписана окружность, то радиус этой окружности равен половине высоты ромба. Высоту ромба можно выразить через сторону ромба $$a$$ и угол $$30°$$:

$$h_{ромба} = a \sin{30°} = \frac{1}{2}a$$

Тогда радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{1}{2} h_{ромба} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}a = \frac{1}{4}a$$

Мы знаем, что $$r = 6$$ см, следовательно:

$$\frac{1}{4}a = 6$$

Отсюда найдем сторону ромба:

$$a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$$

Периметр ромба равен $$4a$$:

$$P = 4 \cdot 24 = 96 \text{ см}$$

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы:

$$S_{бок} = P \cdot h = 96 \cdot 23 = 2208 \text{ см}^2$$

Так как в ответе требуется указать число перед корнем и число под корнем, а у нас получилось целое число, то представим его в виде:

$$2208 = 2208 \cdot \sqrt{1}$$

Ответ: 2208 $$\sqrt{1}$$ (см²)