Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см², найти площадь боковой поверхности.

Решение:

1. Найдем третью сторону треугольника основания по теореме косинусов:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} \)

\( c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos{120^{\circ}} \)

\( c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) \)

\( c^2 = 34 + 15 \)

\( c^2 = 49 \)

\( c = \sqrt{49} = 7 \) см.

2. Стороны основания призмы равны 5 см, 3 см, 7 см.

3. Площади боковых граней призмы равны произведению стороны основания на высоту призмы \( H \).

\( S_1 = 5H \)

\( S_2 = 3H \)

\( S_3 = 7H \)

4. Наибольшая площадь боковой грани равна 35 см². Это соответствует наибольшей стороне основания, то есть 7 см.

\( 7H = 35 \)

\( H = \frac{35}{7} = 5 \) см.

5. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней:

\( S_{бок.пов.} = S_1 + S_2 + S_3 = 5H + 3H + 7H = 15H \)

\( S_{бок.пов.} = 15 \cdot 5 = 75 \) см².

Ответ: 75 см².